〖高校数学②〗展開の逆とは？因数分解の見分け方と基本パターン

こんにちは、もこあい先生です。

前回の①では、式を広げる「展開」を見てきました。
今回はその反対、広がった式をもとの掛け算の形に戻す「因数分解」をやっていきます。

「展開はなんとなくできるけど、因数分解になると急に止まる…」
そんな人は、とても多いです。大丈夫。

因数分解は、公式をただ覚えるよりも、
「この式はどの形かな？」と順番に見ていくことが大切です。

この記事では、因数分解のいちばん最初に身につけたい基本にしぼって、

• 展開の逆とは何か
• どんな順番で見分けるか
• よく出る基本パターン
• 例題での考え方

を、最短でつかめる形で整理していきます。

あせらなくて大丈夫。
まずはここで、因数分解の土台をいっしょに作っていきましょう。

このシリーズの流れ

• ① 展開：式を広げる
• ② 因数分解：式を戻す ← 今回
• ③ 実戦：迷いやすい問題で見分け方を使う

この記事を読むとできるようになること

この記事を読むと、次の3つが見えやすくなります。

• 展開の逆＝因数分解、という関係がわかる
• 「どの形なら、どのやり方を使うか」が見分けやすくなる
• 基本問題を自分で進める流れがつかめる

この記事はここまでやる

今回は、因数分解の最初の基本パターンにしぼって進めます。

「もっとたくさん問題を解きたい」
「会話つきで、ゆっくり理解したい」
という人向けの内容は、別の記事でしっかり扱います。

このページでは、まず
“見分けるための型”をつかむこと
をいちばん大切にしていきます。

展開の逆とは？

展開は、掛け算の形を広げる計算でしたね。

たとえば、

(x+2)(x+3)=x²+5x+6

となります。

では、その逆に、

x²+5x+6

を見て、

(x+2)(x+3)

の形に戻す。
これが因数分解です。

つまり、

• 展開：式を広げる
• 因数分解：式を戻す

という関係になります。

「逆再生」だと思うとわかりやすい

因数分解は、展開で広がった式を、
もう一度もとの掛け算の形へ戻していく作業です。

この「逆再生」のイメージを持つだけでも、かなり理解しやすくなります。

展開がまだあやしい人は、先に①を見よう

因数分解は、展開の逆です。
だから、展開の感覚がまだふわっとしている人は、先に①を見てから戻ってくると、ぐっとわかりやすくなります。

→ 〖高校数学①〗展開とは？基本パターンとやり方をやさしく整理

まずこれだけ覚えよう

因数分解で迷ったときは、次の順番で見ると整理しやすいです。

因数分解を見る順番

1. 共通因数でくくれないかな？
2. 2項なら、平方差かな？
3. 3項なら、公式の形かな？
4. それでも違ったら、組み合わせを考えよう

この順番を頭に入れておくだけで、
「どれを使えばいいのかわからない…」がかなり減ります。

もこあい先生としては、ここが今回のいちばん大事なポイントです。

因数分解の見分け方

ここでは、「どんな式なら、どんな考え方を使うのか」を表で整理しておきます。

表は、全部一気に覚えなくて大丈夫です。
まずは、「共通因数 → 2項 → 3項」 の流れを意識してみてください。

基本パターン① 共通因数でくくる

最初にいちばん見たいのは、共通因数でくくれるかどうかです。

たとえば、

2a²+6a

なら、どちらの項にも 2a が入っています。

だから、

2a²+6a = 2a(a+3)

とできます。

ここが大事

因数分解では、いきなり公式を探しにいくより、
まず「みんなに共通して入っているものはないかな？」
と見るのがコツです。

ここを見落とす人は本当に多いので、最初に習慣にしてしまいましょう。

基本パターン② a²+2ab+b²

次は、よく出る公式の1つです。

a²+2ab+b²=(a+b)²

たとえば、

x²+6x+9

を見てみると、

• x²
• 9 = 3²
• 真ん中の 6x は 2・x・3

という形になっています。

だから、

x²+6x+9=(x+3)²

と因数分解できます。

ここでは、
最初と最後が平方数になっているか
を見ると、かなり気づきやすくなります。

基本パターン③ a²-2ab+b²

これはさっきと似ていますが、真ん中がマイナスになります。

a²-2ab+b²=(a-b)²

たとえば、

x²-4x+4

なら、

• x²
• 4 = 2²
• 真ん中の -4x は -2・x・2

なので、

x²-4x+4=(x-2)²

です。

見た目はよく似ていますが、
真ん中の符号がプラスかマイナスか
は、しっかり見ておきたいところです。

基本パターン④ 平方差 a²-b²

これは2項のときによく出てきます。

a²-b²=(a+b)(a-b)

たとえば、

x²-16

は、

• x²
• 16 = 4²

なので、

x²-16=(x+4)(x-4)

とできます。

2項で引き算が出てきたら、
「平方差かな？」
と一度立ち止まってみると見つけやすいです。

つまずきやすい勘違い3つ

因数分解では、考え方が合っていても途中でミスしやすいです。
ここは、よくあるつまずきを先に見ておきましょう。

1. いきなり公式を探してしまう

まずは共通因数を見ます。
ここを飛ばすと、もったいないミスにつながりやすいです。

2. 平方差と (a-b)² を混同してしまう

• a²-b² は 平方差
• a²-2ab+b² は (a-b)²

似て見えるので、ここは落ち着いて区別したいですね。

3. 因数分解したあとに確認しない

最後に一度展開してみると、
「ちゃんと元の式に戻るかな？」
を確認できます。

このひと手間で、符号ミスに気づけることがよくあります。

例題で見分け方を確認しよう

ここからは、実際にどの形かを見ながら進めていきましょう。
答えだけではなく、どこを見たかも大切にしてみてください。

レベル1：まずは共通因数

例題1

3x²+6x

見抜きポイント
まずは共通因数があるかを見ます。
ここでは 3x が共通しています。

答え
3x²+6x=3x(x+2)

レベル2：公式そのまま

例題2

x²+8x+16

見抜きポイント
3項式です。最初と最後が平方数で、真ん中が 2ab の形になっているかを見ます。

答え
x²+8x+16=(x+4)²

例題3

x²-10x+25

見抜きポイント
最後は 25 = 5²。真ん中の -10x が -2・x・5 の形になっています。

答え
x²-10x+25=(x-5)²

例題4

x²-49

見抜きポイント
2項で引き算、しかもどちらも平方数。これは平方差です。

答え
x²-49=(x+7)(x-7)

レベル3：少し迷う問題

例題5

x²+7x+10

見抜きポイント
3項式ですが、(a+b)² の公式そのままではありません。
掛けて10、足して7になる数の組み合わせを考えます。

答え
x²+7x+10=(x+5)(x+2)

ここは少しだけ迷いやすいですが、
「公式そのままじゃないな」と気づけることも大事な一歩です。

会話でじっくり理解したい人へ

この記事は、最短で整理する基礎版です。

「失敗しやすいところを会話つきでゆっくり理解したい」
「流れで覚えたい」
という人は、物語版から入るのもおすすめです。

→ 【高校数学】展開の逆のすべて：因数分解を物語で完全攻略！

悪もこあい先生のチャレンジ問題｜最後に1問だけ挑戦！

ここまで読めた人は、最後に1問だけやってみましょう。

問題

2x²-18

ヒント

いきなり公式を探しにいく前に、

共通因数 → 2項 → 3項

の順で見てみましょう。

考え方

まず、どちらの項にも 2 が入っています。

だから、

2x²-18=2(x²-9)

とできます。

そのあとで中を見てみると、

x²-9

は平方差です。

だから、

x²-9=(x+3)(x-3)

となります。

答え

2x²-18=2(x+3)(x-3)

悪もこあい先生のひとこと

「最初から公式ばかり追いかけると、大事な入口を見落とすわよ。」

1分チェック

最後に、次の4つを確認してみましょう。

• まず共通因数を見た
• 2項か3項かを見た
• 公式の形に合うか確認した
• 因数分解したあと、展開で戻るか確かめた

この4つを意識できるだけでも、因数分解はかなり安定してきます。

因数分解で符号ミスや見落としが多い人は、こちらもどうぞ。
数学で点を落としやすい原因を、タイプ別に整理しています。

→ 数学のケアレスミスをなくす方法｜4タイプ診断＋逆向きチェック1分ルーティン

まとめ

今回は、

• 展開の逆が因数分解であること
• 因数分解の見分け方
• 基本パターン
• 例題での考え方

を整理しました。

因数分解でいちばん大切なのは、
公式をただ覚えることより、
「この式はどの形かな？」と落ち着いて見ることです。

迷ったときは、まず

共通因数 → 2項 → 3項

の順で見てみてください。
それだけでも、かなり見通しがよくなります。

次に読むなら

展開そのものを復習したい人へ

因数分解は「展開の逆」です。
展開の感覚を先に整えたい人は、①から戻ると理解しやすくなります。

→ 〖高校数学①〗展開とは？基本パターンとやり方をやさしく整理

次のステップへ進みたい人へ

基本パターンが見えてきたら、次は
少し迷いやすい問題でも、見分け方を使えるようにする段階
です。

→ 〖高校数学③〗もこあい先生と学ぶ2次方程式｜因数分解・平方完成・解の公式を「選べる」ようになる授業

この高校数学シリーズでは、公式を暗記するだけでなく、
「どの形かを見分けて、自分で選べるようになること」
を大切にして解説しています。
因数分解も、順番に見ていけば、ちゃんと整理できるようになります。

もこあい先生より：「今日の“なんで？”を大切にしよう。正解より、考えた道のりが宝もの。」