【高校数学③】もこあい先生と学ぶ2次方程式｜因数分解・平方完成・解の公式を「選べる」ようになる授業

二次方程式は、「公式を覚える単元」ではなく、式の形を見て、解き方を選ぶ単元です。

この記事では、因数分解・平方完成・解の公式・判別式を、もこあい先生たちと一緒に整理しながら、二次方程式を「なんとなく解く」状態から「使う道具を選んで解く」状態へ近づけていきます。

この記事は、次のような人におすすめです。

• 二次方程式で、因数分解・平方完成・解の公式の使い分けが分からない人
• 公式は覚えているのに、テストで途中式が崩れやすい人
• 二次関数に進む前に、二次方程式の土台を整理したい人
• 「最初に何を見ればいいか」を知りたい人

先に結論｜二次方程式は「式の形」で解法を選ぶ

二次方程式を解くときは、いきなり計算を始めるより、まず式の形を見ます。

代表的な判断は、次の4つです。

• 因数分解できそうなら、まず因数分解
• \(b\) が偶数で形を整えやすいなら、平方完成も候補
• 因数分解が見えない・迷うなら、解の公式で安全に進む
• 解の個数だけ知りたいなら、判別式を見る

つまり、二次方程式は「どの解き方を覚えるか」だけでなく、どの場面でどの解き方を選ぶかが大切です。

✅ クリックして開く：この記事について

この記事では、高校数学Ⅰレベルの二次方程式を対象にしています。学校の授業・教科書で扱う基本的な内容をもとに、苦手な人にも分かりやすいように整理しています。

なお、数学の表現には学習段階によって説明の仕方に違いがあります。特に \(D<0\) の扱いは、この記事では数学Ⅰの範囲に合わせて「実数解なし」を基本表現にしています。

今日のゴール｜この記事で身につけること

この記事のゴールは、二次方程式を完璧に暗記することではありません。

次の3つができるようになることを目指します。

• 因数分解・平方完成・解の公式の役割を説明できる
• 式を見て、どの解法から試すか判断できる
• 解の公式や判別式で、符号ミスを減らせる

二次方程式とは？｜まず「何を求める問題か」を確認しよう

二次方程式とは、\(x^2\) のように、文字の2乗をふくむ方程式です。

基本形は、次の形です。

\[
ax^2+bx+c=0
\]

ここで求めたいのは、この式を0にする \(x\) の値です。この \(x\) の値を、二次方程式の解といいます。

たとえば、

\[
x^2-5x+6=0
\]

という式なら、この式を0にする \(x\) の値を探します。

実際に \(x=2\) を代入すると、

\[
2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0
\]

となります。

同じように、\(x=3\) を代入しても、

\[
3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0
\]

となります。

だから、この二次方程式の解は、

\[
x=2,\ 3
\]

です。

まず整理｜3つの解法は役割が違う

二次方程式には、代表的な3つの解き方があります。

• 因数分解
• 平方完成
• 解の公式

この3つは、「どれが一番えらい」という関係ではありません。式の形や目的によって、使いやすい方法が変わります。

解法	役割	向いている場面
因数分解	速く解く方法	整数で分解できそうな式
平方完成	形を整える方法	二次関数の頂点やグラフにつなげたいとき
解の公式	確実に解く方法	因数分解できない式・迷った式

解法の選び方チャート｜迷ったらこの順番で見る

二次方程式を見たら、次の順番で確認すると、解き方を選びやすくなります。

見る場所	式の特徴	まず試す解法	理由
定数項 \(c\)	\(c=0\)	因数分解	\(x\) でくくれることが多く、最短で解ける
係数全体	小さい整数で因数が作れそう	因数分解	計算量が少なく、テストで速い
一次の係数 \(b\)	\(b\) が偶数	平方完成も候補	\(b\div2\) がしやすく、二次関数にもつながる
式全体	因数分解が難しい・係数が複雑	解の公式	手順通りに進めれば確実に解ける
判別式 \(D\)	解の個数を知りたい	判別式	実数解が何個あるかを判断できる

※ただし、\(a\neq1\) のときは、先に式全体を整理してから平方完成を考えると安全です。

最初の30秒チェック｜二次方程式を見たらまずここを見る

問題を見たら、すぐに計算を始める前に、次の3つだけ確認しましょう。

• \(c=0\) かどうか
• 因数分解できそうか
• 迷うなら \(a,b,c\) を書き出して解の公式へ進めるか

この30秒を入れるだけで、「何から始めればいいか分からない」という状態を減らせます。

因数分解で解けるタイプ｜まず「かけてc、足してb」を見る

因数分解は、二次方程式を速く解ける方法です。

特に、次のような式では、まず因数分解を疑ってみましょう。

• \(c=0\) になっている
• 係数が小さい整数でできている
• 「かけて \(c\)、足して \(b\)」になるペアが見つかりそう

\(c=0\) のときは、まず \(x\) でくくる

たとえば、

\[
x^2-5x=0
\]

なら、共通している \(x\) でくくれます。

\[
x(x-5)=0
\]

かけ算の答えが0になるためには、どちらか一方が0になればよいので、

• \(x=0\)
• \(x-5=0\) だから \(x=5\)

よって、解は

\[
x=0,\ 5
\]

です。

なぜ、かけ算の形にすると解けるの？

\((x-2)(x-4)=0\) のように、かけ算の答えが0になるときは、どちらか一方が0になります。

• \(x-2=0\) なら \(x=2\)
• \(x-4=0\) なら \(x=4\)

だから、因数分解できる二次方程式は、かけ算の形に直すと解きやすくなります。

例題｜基本の因数分解タイプ

次の二次方程式を解いてみましょう。

\[
x^2-6x+8=0
\]

まず、「かけて \(8\)、足して \(-6\)」になるペアを探します。

• \(-2\) と \(-4\) は、かけると \(8\)
• \(-2+(-4)=-6\)

したがって、

\[
x^2-6x+8=(x-2)(x-4)
\]

なので、

\[
(x-2)(x-4)=0
\]

ここから、

\[
x=2,\ 4
\]

となります。

つまずきポイント｜符号がごちゃごちゃになる

たとえば、

\[
x^2+x-12=0
\]

では、\(c=-12\) なので、「かけて \(-12\)、足して \(1\)」になるペアを探します。

• \(3\) と \(-4\)：足すと \(-1\)
• \(-3\) と \(4\)：足すと \(1\)

足して \(1\) になるのは、\(-3\) と \(4\) です。

したがって、

\[
x^2+x-12=(x-3)(x+4)
\]

なので、

\[
(x-3)(x+4)=0
\]

よって、

\[
x=3,\ -4
\]

です。

因数分解そのものの見分け方がまだ不安な人は、先にこちらで「展開の逆」として整理しておくと、二次方程式でも使いやすくなります。

あわせて読みたい：〖高校数学②〗展開の逆とは？因数分解の見分け方と基本パターン

平方完成で解くタイプ｜「形を整える」と二次関数につながる

平方完成は、二次式を

\[
(x+p)^2+q
\]

のような形に整える方法です。

二次方程式を解くときにも使えますが、それだけではありません。平方完成は、次に学ぶ二次関数の頂点・軸・最大最小にもつながります。

なお、\(a\neq1\) の式では、いきなり平方完成しようとすると計算が重くなることがあります。まず式全体を整理したり、必要に応じて \(a\) でくくったりしてから考えると安全です。

平方完成の基本ステップ

例として、次の式を考えます。

\[
x^2+6x+5=0
\]

平方完成では、\(x\) の係数を半分にして、その2乗を作ります。

• \(6\div2=3\)
• \(3^2=9\)

そこで、式の中に \(9\) を足して、同じ \(9\) を引きます。

\[
x^2+6x+5
=
x^2+6x+9-9+5
\]

\[
=
(x+3)^2-4
\]

したがって、

\[
(x+3)^2-4=0
\]

\[
(x+3)^2=4
\]

\[
x+3=\pm2
\]

よって、

\[
x=-1,\ -5
\]

となります。

「足して引く」って本当に意味あるの？

同じ数を足して、同じ数を引けば、式全体の値は変わりません。

平方完成では、完全な平方の形を作るために必要な数をいったん足し、その分をあとで引いて調整しています。

つまり、式の値を変えずに、読める形へ変形しているのです。

\(b\) が奇数のときも、手順は同じ

次の式を考えます。

\[
x^2+5x+1=0
\]

このとき、\(5\div2\) は分数で表すと、

\[
\dfrac{5}{2}
\]

です。

そして、

\[
\left(\dfrac{5}{2}\right)^2=\dfrac{25}{4}
\]

なので、

\[
x^2+5x+1
=
x^2+5x+\dfrac{25}{4}-\dfrac{25}{4}+1
\]

\[
=
\left(x+\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{21}{4}
\]

したがって、方程式は、

\[
\left(x+\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{21}{4}=0
\]

\[
\left(x+\dfrac{5}{2}\right)^2=\dfrac{21}{4}
\]

\[
x+\dfrac{5}{2}=\pm\dfrac{\sqrt{21}}{2}
\]

よって、

\[
x=\dfrac{-5\pm\sqrt{21}}{2}
\]

です。

平方完成でミスしやすいポイント

• \(b\) を半分にするとき、符号を間違える
• 「足して引く」のうち、引くほうを書き忘れる
• 右辺に移すとき、符号が変わるのを忘れる
• \(x^2\) の係数が1でないとき、先に整理するのを忘れる

平方完成は、二次関数を「頂点が読める形」に直すときにも使います。ここがつながると、次の二次関数の理解がかなり楽になります。

次に読みたい：〖数学シリーズ④〗二次関数が苦手な人へ｜平方完成は「翻訳」だった

解の公式で解くタイプ｜迷ったときの安全ルート

因数分解できるかどうか迷う式や、係数が複雑な式では、解の公式を使うと安全です。

二次方程式

\[
ax^2+bx+c=0
\]

の解は、

\[
x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\]

で求められます。

公式に入れる前に、\(a,b,c\) を書き出そう

解の公式でミスしやすい人は、いきなり代入しないことが大切です。

まず、元の式を

\[
ax^2+bx+c=0
\]

の形にそろえて、\(a,b,c\) を書き出します。

• \(x^2\) の係数が \(a\)
• \(x\) の係数が \(b\)
• 数字だけの部分が \(c\)

特に、\(b\) がマイナスのときは、\(-b\) の符号ミスが起きやすいので注意しましょう。

例題｜解の公式で解くのが安全なタイプ

次の二次方程式を解きます。

\[
3x^2-2x-7=0
\]

まず、\(a,b,c\) を書き出します。

• \(a=3\)
• \(b=-2\)
• \(c=-7\)

判別式部分を先に計算します。

\[
D=b^2-4ac
\]

\[
D=(-2)^2-4\cdot3\cdot(-7)
\]

\[
D=4+84=88
\]

解の公式に代入すると、

\[
x=\dfrac{-(-2)\pm\sqrt{88}}{2\cdot3}
\]

\[
x=\dfrac{2\pm\sqrt{88}}{6}
\]

\(\sqrt{88}=2\sqrt{22}\) なので、

\[
x=\dfrac{2\pm2\sqrt{22}}{6}
\]

\[
x=\dfrac{1\pm\sqrt{22}}{3}
\]

となります。

判別式とは？｜解の個数を先に見る道具

判別式とは、二次方程式の実数解の個数を判断するための式です。

\[
D=b^2-4ac
\]

この \(D\) の符号を見ると、実数解がどうなるか分かります。

• \(D>0\)：異なる2つの実数解
• \(D=0\)：異なる実数解は1つ、重解
• \(D<0\)：数学Ⅰの範囲では実数解なし

※複素数まで学ぶと、\(D<0\) の場合も虚数解として考えられます。ただし、数学Ⅰの二次方程式では、まず「実数解なし」と押さえると安全です。

グラフで見ると、x軸との交わり方に対応する

二次方程式

\[
ax^2+bx+c=0
\]

は、二次関数

\[
y=ax^2+bx+c
\]

のグラフが、\(x\) 軸とどこで交わるかを見ることにもつながります。

• \(D>0\)：グラフが \(x\) 軸と2点で交わる
• \(D=0\)：グラフが \(x\) 軸に接する
• \(D<0\)：グラフが \(x\) 軸と交わらない

判別式は、式を解くだけでなく、二次関数のグラフがx軸とどう交わるかを見る考え方にもつながります。グラフの読み取りまで整理したい人は、次の記事へ進むと理解がつながります。

• 〖数学シリーズ④〗二次関数が苦手な人へ｜平方完成は「翻訳」だった
• 〖数学シリーズ⑤〗二次関数のグラフがわからない人へ｜a・p・q は何を動かしている？

同じ問題を3つの解法で比べてみよう

ここまで、因数分解・平方完成・解の公式を見てきました。

ここで、同じ二次方程式を3つの方法で解いて、違いを比べてみましょう。

例として、

\[
x^2-4x+3=0
\]

を使います。

方法1｜因数分解で解く

\[
x^2-4x+3=(x-1)(x-3)
\]

なので、

\[
(x-1)(x-3)=0
\]

よって、

\[
x=1,\ 3
\]

です。

方法2｜平方完成で解く

\[
x^2-4x+3=0
\]

\[
x^2-4x+4-4+3=0
\]

\[
(x-2)^2-1=0
\]

\[
(x-2)^2=1
\]

\[
x-2=\pm1
\]

よって、

\[
x=1,\ 3
\]

です。

方法3｜解の公式で解く

この式では、

• \(a=1\)
• \(b=-4\)
• \(c=3\)

です。

\[
D=(-4)^2-4\cdot1\cdot3=16-12=4
\]

\[
x=\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{4}}{2\cdot1}
\]

\[
x=\dfrac{4\pm2}{2}
\]

よって、

\[
x=1,\ 3
\]

です。

解法	今回の使いやすさ	見えるもの
因数分解	一番速い	解がすぐ出る
平方完成	少し手間はある	形が整い、二次関数につながる
解の公式	確実だが少し長い	どんな式でも手順化できる

ミニ辞書｜二次方程式でよく出てくる言葉を確認しよう

二次方程式では、似たような言葉がいくつも出てきます。ここで一度、意味を整理しておきましょう。

言葉	意味	この記事での使い方
二次方程式	\(x^2\) のように、文字の2乗をふくむ方程式	\(ax^2+bx+c=0\) の形で考える
解	方程式を成り立たせる \(x\) の値	式に代入すると左辺が0になる値
因数分解	式をかけ算の形に直すこと	\((x-2)(x-4)=0\) のようにして解く
平方完成	\((x+p)^2+q\) のような形に整えること	二次方程式を解くだけでなく、二次関数の頂点理解にもつながる
解の公式	二次方程式を機械的に解ける公式	因数分解できないときや迷ったときの安全ルート
判別式	実数解の個数を判断するための式	\(D=b^2-4ac\) の符号を見る
実数解	数直線上に表せる解	数学Ⅰでは、まず実数解があるかどうかを考える
重解	同じ解が2回出てくること	\(D=0\) のときに出てくる
係数	文字の前についている数	\(ax^2+bx+c=0\) の \(a,b,c\) を確認するときに使う

よくあるミス｜二次方程式で間違えやすいポイント

ミス	起きやすい場面	防ぎ方
符号を間違える	因数分解・解の公式	マイナスを含めて \(a,b,c\) を書き出す
因数分解できない式に時間を使いすぎる	解法選び	迷ったら解の公式に進む
平方完成で足した数を引き忘れる	平方完成	足したら同じ数を引く、とセットで書く
\(D<0\) の扱いで混乱する	判別式	数学Ⅰではまず「実数解なし」と押さえる

ミニ診断｜この式なら、どの解法を選ぶ？

ここでは、式を見て「どの解法から試すか」を判断する練習をしてみましょう。

式	まず見るポイント	おすすめ解法
\(x^2-5x+6=0\)	かけて6、足して-5が作れる	因数分解
\(x^2-4x-1=0\)	\(b\) が偶数で、形を整えやすい	平方完成も候補
\(3x^2-2x-7=0\)	因数分解がすぐ見えにくい	解の公式
\(2x^2-8x+8=0\)	全体を2で割れる	整理してから因数分解

練習問題｜3問で解法を選ぶ練習

ここからは、実際に解法を選ぶ練習をしてみましょう。

練習問題①｜因数分解タイプ

\[
x^2-2x-15=0
\]

ヒント：かけて \(-15\)、足して \(-2\) になるペアを探しましょう。

練習問題②｜平方完成タイプ

\[
x^2-4x-1=0
\]

ヒント：\(-4\div2=-2\)、\((-2)^2=4\) です。

練習問題③｜解の公式タイプ

\[
3x^2-2x-7=0
\]

ヒント：\(a=3,\ b=-2,\ c=-7\) を先に書き出しましょう。

✅ クリックして開く：練習問題の解答

練習問題①の解答

\[
x^2-2x-15=(x-5)(x+3)
\]

よって、

\[
x=5,\ -3
\]

練習問題②の解答

\[
x^2-4x-1=0
\]

\[
x^2-4x+4-4-1=0
\]

\[
(x-2)^2-5=0
\]

\[
(x-2)^2=5
\]

よって、

\[
x=2\pm\sqrt{5}
\]

練習問題③の解答

\[
D=(-2)^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88
\]

\[
x=\dfrac{-(-2)\pm\sqrt{88}}{2\cdot3}
\]

\[
x=\dfrac{2\pm2\sqrt{22}}{6}
\]

よって、

\[
x=\dfrac{1\pm\sqrt{22}}{3}
\]

分からなくなったときの戻り道

二次方程式で止まったときは、全部を最初からやり直さなくて大丈夫です。

つまずいた場所に合わせて、戻るポイントを変えましょう。

止まったところ	戻る場所
式をどう変形すればいいか分からない	展開・因数分解の基本へ戻る
因数分解できるか判断できない	「かけてc、足してb」を確認する
平方完成で崩れる	「半分にして2乗」の手順へ戻る
解の公式で間違える	\(a,b,c\) を書き出すところへ戻る
解の個数が分からない	判別式 \(D=b^2-4ac\) を確認する

スクショ保存用｜二次方程式の解法選びチェック表

最後に、二次方程式を解く前に見るポイントを1枚にまとめます。

式を見たら確認すること	判断の目安	おすすめ解法
\(c=0\) か	\(x\) でくくれる	因数分解
かけて \(c\)、足して \(b\) のペアがあるか	整数で見つかる	因数分解
\(b\) が偶数か	\(b\div2\) がしやすい	平方完成も候補
因数分解が難しいか	係数が複雑・迷う	解の公式
解の個数だけ知りたいか	\(D\) の符号を見る	判別式

分かったつもりチェック｜本当に選べるようになった？

この記事を読み終えたら、次の項目を確認してみましょう。

• 因数分解できそうな式を見たとき、まず何を確認するか言える
• 平方完成が、二次関数の頂点につながることを説明できる
• 解の公式に入れる前に、\(a,b,c\) を書き出せる
• 判別式で、実数解の個数を判断できる
• 迷ったとき、解の公式に進む判断ができる

全部できなくても大丈夫です。まずは、問題を見たときに最初の判断ができるかを大切にしましょう。

今日できる最小行動｜問題を解く前に3つだけ印をつけよう

今日やることは、二次方程式を何十問も解くことではありません。

まず、1問だけでいいので、次の3つに印をつけてみましょう。

• \(a,b,c\) の値
• 因数分解できそうな部分
• 迷ったら公式に進む判断ポイント

この3つを見る習慣がつくと、二次方程式は「なんとなく解く問題」から「道具を選んで解く問題」に変わります。

まとめ｜二次方程式は「道具を選ぶ」と解きやすくなる

この記事では、二次方程式の解き方を、因数分解・平方完成・解の公式・判別式に分けて整理しました。

大切なのは、すべての解法をバラバラに覚えることではありません。

式を見て、

• 因数分解できそうか
• 平方完成で形を整えたいか
• 解の公式で安全に進むべきか
• 判別式で解の個数を見るべきか

を判断することです。

二次方程式は、次に学ぶ二次関数にもつながります。ここで「式の形を見る力」を育てておくと、変域・最大最小・グラフの読み取りでも役に立ちます。

次に読むなら｜高校数学シリーズを順番につなげよう

二次方程式は、展開・因数分解・二次関数へつながる大事な橋渡しです。今の自分がどこで止まりやすいかに合わせて、必要な記事へ進んでください。

読みたい内容	おすすめ記事	読む目的
式を広げる基本に戻りたい	〖高校数学①〗多項式の展開をゼロから理解する	分配法則・展開公式の土台を確認する
因数分解の見分け方が不安	〖高校数学②〗展開の逆とは？因数分解の見分け方と基本パターン	二次方程式で使う因数分解を整理する
平方完成を二次関数につなげたい	〖数学シリーズ④〗二次関数が苦手な人へ｜平方完成は「翻訳」だった	頂点・軸・最大最小へのつながりを見る
\(a,p,q\) の意味が混ざる	〖数学シリーズ⑤〗二次関数のグラフがわからない人へ｜a・p・q は何を動かしている？	グラフの動きを視覚的に整理する
変域で止まりやすい	〖数学シリーズ⑥〗二次関数の変域がわからない人へ	xの範囲からyの範囲を読む練習をする
最大・最小や場合分けに進みたい	〖数学シリーズ⑦〗二次関数の最大・最小がわからない人へ	頂点・端点・範囲・場合分けをつなげる

訂正と追記

この記事は、学校数学の基本事項をもとに、苦手な人にも分かりやすいように整理しています。もし誤りや分かりにくい表現があれば、今後修正・追記していきます。

参考文献・出典

この記事では、高校数学Ⅰで扱う二次方程式・二次関数の基本事項をもとに、学習者向けに再構成しています。記述の正確性には注意していますが、学校や教科書によって説明の順序・表現が異なる場合があります。

1. 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編」
   https://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/new-cs/1407074.htm
   参照日：2026年5月8日