【高校数学③】二次方程式の解き方がわからない人へ｜因数分解・平方完成・解の公式の選び方

二次方程式に入ってから、急に「何を使えばいいのか分からない」と感じていませんか？

たとえば、

• 因数分解で解く問題なのか分からない
• 平方完成が出てくると、途中で手が止まる
• 解の公式は見たことがあるのに、符号でよく間違える
• 答えを見れば分かるのに、自分では最初の一手が出てこない

そんなふうに感じる人は、あなただけではありません。

二次方程式は、「新しい公式が多くて大変な単元」に見えやすいです。

でも実際には、全部をバラバラに覚えるより、式の形を見て、どの方法を使うか選べるようになることが大切です。

つまり、

「どう計算するか」より前に、「何から始めるか」を決める力

が、この単元のいちばん大事なところです。

この記事では、平方根・因数分解・平方完成・解の公式を整理しながら、

• どんな形なら、どの方法を考えるのか
• 迷ったときは何を見ればよいのか
• 高校の二次関数へどうつながるのか

を、順番に確認していきます。

「公式が多くて混ざる」と感じている人も大丈夫です。

一つずつ見れば、二次方程式はただの暗記単元ではなく、「式を見て考える単元」だと分かってきます。

もこあい先生と一緒に、まずは「どの道具を使うか」を見分けるところから始めていきましょう。

※二次方程式の基本的な解法は中学校3年でも学びます。この記事では、その内容を確認しながら、高校数学の二次関数へつなげることを意識して整理しています。

この高校数学シリーズの地図

このシリーズでは、高校数学で必要になる「式を見る力」を順番につないでいます。

1. 数学シリーズ①｜展開：かけ算の形を広げる
2. 数学シリーズ②｜因数分解：広がった式をかけ算の形に戻す
3. 数学シリーズ③｜二次方程式：式の形から解き方を選ぶ ← 今回
4. 数学シリーズ④｜二次関数：平方完成して式から情報を読む
5. 数学シリーズ⑤｜グラフ：a・p・qとグラフの変化をつなぐ

展開や因数分解がまだ不安な場合は、先に確認しておくと二次方程式が見やすくなります。

• 多項式の展開を確認する
• 因数分解を確認する

最初に確認｜二次方程式のどこで止まっていますか？

「二次方程式が分からない」といっても、止まっている場所は人によって違います。

今の状態	確認する場所
二次方程式そのものが分からない	二次方程式とは？
最初に何をすればいいか分からない	解く前に見る3つ
因数分解できるか分からない	因数分解で解く
平方完成の手順が分からない	平方完成で解く
公式で符号を間違える	解の公式で解く
実数解が何個あるか知りたい	判別式を見る

全部を最初からやり直す必要はありません。

自分が止まった場所を一つ見つけて、そこから確認してみてください。

先に結論｜二次方程式は「式の形」を見てから解く

二次方程式を見たら、すぐに解の公式へ数字を入れる必要はありません。

まず、次の順番で見てみます。

1. 右辺を0にして整理できているか
2. 「平方＝数」の形になっていないか
3. 因数分解できないか
4. 平方完成を使うと見やすくならないか
5. 迷ったら解の公式を使う

また、解そのものではなく実数解の個数だけを知りたい場合は判別式を使います。

計算する前に、まず式を見る。

これが、この記事で最も大切にしたい考え方です。

二次方程式とは？｜まず何を求める問題なのか

二次方程式とは、整理すると次の形で表せる方程式です。

ax²＋bx＋c＝0　（a≠0）

aが0ではないことが大切です。

a＝0ならx²の項がなくなるため、二次方程式ではありません。

たとえば、

x²−5x＋6＝0

という方程式を考えてみます。

求めたいのは、この等式を成り立たせるxの値です。

x＝2を入れると、

2²−5×2＋6＝4−10＋6＝0

となります。

x＝3を入れても、

3²−5×3＋6＝9−15＋6＝0

です。

したがって、

x＝2、3

がこの二次方程式の解です。

解く前に見る3つ｜いきなり公式へ進まない

① 右辺を0にする

たとえば、

x²＋3x＝4

なら、まず右辺を0にします。

x²＋3x−4＝0

② 全体を簡単にできないか見る

たとえば、

2x²−8x＋8＝0

なら、すべての項を2で割れます。

x²−4x＋4＝0

式が簡単になると、因数分解できる形も見つけやすくなります。

③ どんな形なのかを見る

式を整理できたら、次に、

• 平方の形になっているか
• 因数分解できるか
• 平方完成すると扱いやすいか
• 解の公式を使った方がよいか

を考えます。

解き方①｜平方の形なら平方根を使う

二次方程式を見ると、すぐに因数分解や解の公式を考えたくなるかもしれません。

しかし、すでに平方の形になっている場合は、もっと直接解けます。

たとえば、

x²＝9

なら、

x＝±3

です。

3だけではなく、−3も2乗すると9になるため、±を忘れないようにします。

もう一つ見てみましょう。

(x−2)²＝5

なら、

x−2＝±√5

なので、

x＝2±√5

となります。

「何かの2乗＝数」までできているなら、まず平方根を考える。

これが最初の解法候補です。

解き方②｜因数分解できるなら、かけ算の形にする

因数分解は、二次方程式を短く解けることが多い方法です。

たとえば、

x²−5x＋6＝0

を考えます。

因数分解すると、

(x−2)(x−3)＝0

です。

かけ算の結果が0になるためには、少なくともどちらか一方が0になります。

• x−2＝0
• x−3＝0

したがって、

x＝2、3

となります。

x²の係数が1なら「かけてc、足してb」を使える

次の形を見てみます。

x²＋bx＋c

x²の係数が1の場合は、

• かけてc
• 足してb

になる2つの数を探す方法が使えます。

たとえば、

x²−6x＋8

なら、

• かけて8
• 足して−6

になる−2と−4を探します。

したがって、

x²−6x＋8＝(x−2)(x−4)

です。

ただし、「かけてc、足してb」は、どんな二次式にもそのまま使える方法ではありません。

x²の係数が1ではない場合

たとえば、

2x²＋5x＋2＝0

を考えます。

この場合、「かけて2、足して5」と単純に考える方法ではありません。

整数の範囲で因数分解できるかを見る方法の一つとして、a×cを利用できます。

• a＝2
• b＝5
• c＝2
• a×c＝4

かけて4、足して5になる1と4を使って、5xを分けます。

2x²＋x＋4x＋2＝0

x(2x＋1)＋2(2x＋1)＝0

(2x＋1)(x＋2)＝0

したがって、

x＝−1/2、−2

となります。

この方法がすぐに見えない場合は、無理に因数分解へこだわらず、解の公式へ進んでも構いません。

解き方③｜平方完成で「平方の形」にする

平方完成は、二次式を平方の形に整える方法です。

二次方程式を解くときにも使えますが、高校ではこの先、二次関数の頂点や軸を読み取るときにも重要になります。

たとえば、

x²−4x−1＝0

を平方完成で解いてみましょう。

まず、定数項を右辺へ移します。

x²−4x＝1

xの係数−4を半分にすると−2です。

その2乗である4を両辺に足します。

x²−4x＋4＝5

すると、左辺は、

(x−2)²＝5

となります。

ここまで来れば平方根を使えます。

x−2＝±√5

したがって、

x＝2±√5

です。

「bが偶数なら平方完成」は絶対ルールではない

x²の係数が1で、xの係数が偶数なら、半分にした数が整数になるため平方完成しやすくなります。

ただし、

「xの係数が偶数なら、必ず平方完成する」

というルールではありません。

因数分解の方が簡単なら、因数分解して構いません。

平方完成は特に、

• 平方の形へ直したい
• 二次関数へつなげたい
• 頂点や軸を読み取りたい

ときに重要になります。

解き方④｜迷ったら解の公式を使う

因数分解がすぐに見つからない場合でも、二次方程式には解の公式があります。

ax²＋bx＋c＝0　（a≠0）

に対して、解の公式は、

x＝(−b ± √(b²−4ac)) ÷ 2a

です。

式は長く見えますが、a・b・cを正しく取り出して、一つずつ代入すれば進められます。

公式へ入れる前にa・b・cを書く

次の方程式を考えます。

3x²−2x−7＝0

まず、係数を書き出します。

• a＝3
• b＝−2
• c＝−7

ここでは、マイナスの符号まで含めて係数として扱います。

まず、根号の中を計算します。

b²−4ac

＝(−2)²−4×3×(−7)

＝4＋84

＝88

解の公式へ代入すると、

x＝(2 ± √88) ÷ 6

√88＝2√22なので、

x＝(2 ± 2√22) ÷ 6

整理すると、

x＝(1 ± √22) ÷ 3

となります。

解の公式で特に確認したい3か所

• bが負なら、−bの符号を確認する
• b²では、b全体を2乗する
• 分母は2a全体であることを確認する

たとえばb＝−2なら、

−b＝−(−2)＝2

です。

符号を頭の中だけで処理せず、かっこを書いて確認するとミスを減らしやすくなります。

判別式とは？｜実数解が何個あるかを見る

解そのものを求めるのではなく、実数解の個数を判断したい場合には判別式を使います。

D＝b²−4ac

判別式	実数解
D＞0	異なる2つの実数解
D＝0	実数解は1つ（重解）
D＜0	実数解なし

D＝0では、2つの解が同じ値になります。これを重解といいます。

高校では二次関数のグラフにつながる

ここから、高校数学らしいつながりが見えてきます。

二次方程式、

ax²＋bx＋c＝0

の解は、二次関数、

y＝ax²＋bx＋c

のグラフとx軸が交わる場所のx座標に対応します。

• D＞0：x軸と2点で交わる
• D＝0：x軸に1点で接する
• D＜0：x軸と交わらない

つまり、判別式は単なる計算ルールではありません。

二次方程式の解と、二次関数のグラフをつなぐものでもあります。

解法の選び方｜迷ったらこの順番で見る

式の特徴	まず考える方法	理由
x2＝k、(x−p)2＝k	平方根	そのまま平方根を使える
共通因数でくくれる	因数分解	式を簡単にできる
因数分解がすぐ見える	因数分解	計算量が少ない
平方の形へ整えたい	平方完成	二次関数にもつながる
因数分解が見えない・迷う	解の公式	手順に沿って解ける
実数解の個数だけを知りたい	判別式	Dの符号で判断できる

この表は、

「この形なら絶対にこの方法でなければいけない」

という意味ではありません。

同じ二次方程式を複数の方法で解けることもあります。

その中から、今の式や目的に合った方法を選びます。

悪もこあい先生の罠｜その「近道」、本当に使える？

二次方程式では、覚えたルールをそのまま使いたくなることがあります。

でも、式の形を見ずに使うと、かえって遠回りしたり、間違えたりすることもあります。

ここで、悪もこあい先生がよく仕掛けてくる3つの罠を確認してみましょう。

罠1｜「全部、解の公式でやればいいじゃん」

悪もこあい先生：

「二次方程式には解の公式があるんだから、全部それで解けばいいじゃない。」

たしかに、解の公式を使えば多くの二次方程式を解けます。

でも、たとえば、

x²−5x＋6＝0

なら、

(x−2)(x−3)＝0

と因数分解した方が短く進められます。

もこあい先生：

「解の公式は大切な道具。でも、“いつでも最初に使う道具”ではないよ。まず式の形を見てみよう。」

罠2｜「かけてc、足してbを探せば全部因数分解できるよ」

悪もこあい先生：

「因数分解なら、“かけてc、足してb”。これだけ覚えれば大丈夫。」

ここにも注意が必要です。

この見方をそのまま使いやすいのは、

x²＋bx＋c

のように、x²の係数が1の場合です。

たとえば、

2x²＋5x＋2

では、単純に「かけて2、足して5」と考える方法ではありません。

もこあい先生：

「ルールを覚えるだけじゃなく、“そのルールを使える形か”まで確認しよう。」

罠3｜「(x−2)²＝5 なら、x＝2＋√5だね」

悪もこあい先生：

「平方根を取ればいいんだから、x＝2＋√5。完成！」

ここでは、もう一つの解を忘れています。

(x−2)²＝5

なら、

x−2＝±√5

なので、

x＝2±√5

です。

もこあい先生：

「平方から戻るときは、±を忘れていないか確認しよう。」

悪もこあい先生の近道は、一見すると楽そうに見えます。

でも二次方程式では、公式を覚えることより、『今の式にその方法を使ってよいか』を確かめることが大切です。

同じ二次方程式でも、解き方は一つではない

たとえば、

x²−4x＋3＝0

は、因数分解・平方完成・解の公式のどれでも解けます。

方法	この問題での特徴
因数分解	(x−1)(x−3)とすぐ分かるので短い
平方完成	(x−2)2＝1となり、平方の形が見える
解の公式	手順通りに解けるが、この問題ではやや長い

どの方法でも、答えは、

x＝1、3

です。

大切なのは、「使える方法が一つしかない」と考えないことです。

解ける方法の中から、見通しよく進められる方法を選ぶ。

これも高校数学で身につけたい力の一つです。

ミニ診断｜この式なら最初に何を使う？

答えを計算する前に、「最初の一手」だけ判断してみてください。

問題	最初に見るところ	おすすめ
x2＝16	平方の形	平方根
x2−5x＋6＝0	因数分解できる	因数分解
x2−4x−1＝0	平方の形へ整えやすい	平方完成
3x2−2x−7＝0	因数分解がすぐ見えない	解の公式
2x2−8x＋8＝0	全体を2で割れる	まず整理

二次方程式でよくある6つのミス

ミス1｜右辺を0にしないまま因数分解する

因数分解を利用して解くときは、まず、

何か × 何か＝0

の形を作れるように整理します。

ミス2｜±を忘れる

x²＝9なら、x＝3だけではありません。

x＝−3も成り立つため、

x＝±3

です。

ミス3｜「かけてc、足してb」をどんな式にも使う

この見方をそのまま使いやすいのは、

x²＋bx＋c

のように、x²の係数が1の場合です。

ミス4｜平方完成で半分にする場所を間違える

x²＋6xなら、半分にするのはxの係数6です。

6÷2＝3、その2乗で9を作ります。

ミス5｜解の公式で負の係数を落とす

b＝−2なら、bは「2」ではなく「−2」です。

a・b・cは、符号まで含めて書き出します。

ミス6｜答えを出したところで確認をやめる

余裕がある場合は、求めた解を元の式へ代入して0になるか確認してみましょう。

途中の符号ミスや計算ミスに気づけることがあります。

練習問題｜計算する前に「解法」を決めてみよう

いきなり計算を始めず、まずどの方法から試すかを決めてみてください。

問題1

(x−3)²＝7

問題2

x²−2x−15＝0

問題3

2x²＋5x＋2＝0

問題4

x²−6x＋2＝0

問題5

3x²−2x−7＝0

解答と考え方を見る

問題1

(x−3)²＝7なので、平方根を使います。

x−3＝±√7

x＝3±√7

問題2

因数分解すると、

(x−5)(x＋3)＝0

なので、

x＝5、−3

問題3

因数分解すると、

(2x＋1)(x＋2)＝0

なので、

x＝−1/2、−2

問題4

平方完成すると、

x²−6x＝−2

x²−6x＋9＝7

(x−3)²＝7

したがって、

x＝3±√7

問題5

解の公式を使います。

a＝3、b＝−2、c＝−7なので、

b²−4ac＝88

となります。

したがって、

x＝(1±√22)÷3

です。

分からなくなったときの戻り道

二次方程式で止まっても、数学を全部最初からやり直す必要はありません。

止まったところ	戻る場所
移項や式の整理で止まる	中学の方程式・式の計算
因数分解できない	展開・因数分解
√や±で止まる	平方根
平方完成で止まる	xの係数を半分→2乗を確認
解の公式で符号を間違える	a・b・cを書き出す
グラフとの関係が分からない	二次関数へ進む

「二次方程式が全部分からない」と考えるより、

どこで止まったのかを一つ見つける

方が、戻る場所を決めやすくなります。

保存用｜二次方程式の解法選び6項目チェック

問題を見たら、次の順番で確認してみてください。

• □ 右辺を0にして整理したか
• □ 全体を割ったり、共通因数でくくったりできないか
• □ 「平方＝数」の形なら平方根を使えないか
• □ 因数分解できないか
• □ 平方の形へ整えるなら平方完成を使えないか
• □ 迷ったらa・b・cを書き出して解の公式へ進めるか

実数解の個数だけを知りたい場合は、

D＝b²−4ac

も確認します。

分かったつもりチェック｜ここまで言えればOK

• □ 二次方程式をax²＋bx＋c＝0の形で見られる
• □ 平方の形なら平方根を使える
• □ 因数分解できる式を見分けられる
• □ 「かけてc、足してb」を使いやすい条件を説明できる
• □ 平方完成で平方の形を作れる
• □ 解の公式へ入れる前にa・b・cを書き出せる
• □ 判別式と実数解の個数の関係を説明できる

全部できなくても構いません。

まず、問題を見たときに「何から試すか」を一つ判断できれば前進です。

今日できる最小行動｜1問だけ「解く前」に判断する

二次方程式を何十問も解く必要はありません。

まず1問だけ見て、計算を始める前に、

• 平方根
• 因数分解
• 平方完成
• 解の公式

のどれから試すかを決めてみてください。

できれば、

「なぜ、その方法を選んだのか」

も一言で説明してみます。

この習慣がつくと、二次方程式は「公式を思い出して当てはめる問題」から、「式を見て道具を選ぶ問題」へ少しずつ変わっていきます。

ここから二次関数へ｜平方完成は「解く」だけの道具ではない

ここまで、二次方程式では平方完成を「xの値を求めるため」に使いました。

もう一度、先ほどの式を見てみます。

x²−4x−1＝0

平方完成すると、

(x−2)²＝5

となり、

x＝2±√5

と解くことができました。

では、ほとんど同じ式を、今度は二次関数として見てみましょう。

y＝x²−4x−1

この二次関数でy＝0とすると、

x²−4x−1＝0

となります。

つまり、先ほど解いた二次方程式と同じ式が現れます。

二次方程式と二次関数は、別々の話ではありません。

同じ式を、今度は「xとyの関係」として見ることで、二次関数へつながっていきます。

そして、

y＝x²−4x−1

を平方完成すると、

y＝(x−2)²−5

となります。

計算方法は、二次方程式で行った平方完成とほとんど同じです。

しかし今度は、xを求めることが目的ではありません。

では、この式に現れた「2」と「−5」は何を表しているのでしょうか？

ここが、二次方程式から二次関数へ進む大切な境目です。

高校数学では、平方完成を使って、

y＝a(x−p)²＋q

の形へ直すことで、グラフについての情報を読み取れるようになります。

つまり平方完成は、

• 二次方程式：xを求めるために使う
• 二次関数：式に隠れている情報を読むために使う

というように、同じ計算でも役割が変わります。

次の数学シリーズ④では、この「2」と「−5」が何を意味しているのかを確認します。

次へ｜【高校数学④】二次関数がわからない人へ｜平方完成・頂点・軸・最大最小の見方

まとめ｜二次方程式は「解法を覚える」より「選べる」が大切

二次方程式には、いくつかの解き方があります。

• 平方の形なら平方根
• 因数分解できるなら因数分解
• 平方の形へ整えるなら平方完成
• 迷ったら解の公式
• 実数解の個数を見るなら判別式

大切なのは、これらをばらばらの公式として覚えることではありません。

式を見る → 方法を選ぶ → 計算する → 必要なら確認する

という順番を作ることです。

そして、二次方程式で使った平方完成は、この先の二次関数でも使います。

二次方程式では「解くため」に使った平方完成が、次の記事では「式からグラフの情報を読むための道具」へ変わります。

一つひとつの単元を別々に覚えるのではなく、前に学んだことが次でどう使われるのかも見てみてください。

今日の“なんで？”を大切にしよう。正解より、考えた道のりが宝もの。

訂正・追記履歴

• 2025年9月17日：初稿公開
• 2026年5月8日：内容を更新
• 2026年8月8日：全文を再構成しました。二次方程式の定義、解法の選び方、因数分解の適用範囲、平方完成、解の公式、判別式の説明を見直しました。「平方根で直接解く」を独立した解法として追加し、中学校で学ぶ二次方程式から高校数学の二次関数へつながる構成に変更しました。また、数式表示の崩れを防ぐため、本文中の数式表記を全面的に整理しました。

参考文献・出典

• 文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編」
• 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編」

※学校や教科書によって、説明の順序や表現には違いがあります。授業や定期テストでは、学校で使用している教科書や先生の指示も確認してください。