〖高校数学②〗展開の逆とは？因数分解の見分け方と基本パターン

こんにちは、もこあい先生です。

前回の①では、式を広げる「展開」を見てきました。
今回はその反対、広がった式をもとの掛け算の形に戻す「因数分解」をやっていきます。

「展開はなんとなくできるけど、因数分解になると急に止まる…」
そんな人は、とても多いです。大丈夫。

因数分解は、公式をただ覚えるよりも、
「この式はどの形かな？」と順番に見ていくことが大切です。

この記事では、因数分解のいちばん最初に身につけたい基本にしぼって、

• 展開の逆とは何か
• どんな順番で見分けるか
• よく出る基本パターン
• 例題での考え方

を、最短でつかめる形で整理していきます。

あせらなくて大丈夫。
まずはここで、因数分解の土台をいっしょに作っていきましょう。

このシリーズの流れ

• ① 展開：式を広げる
• ② 因数分解：式を戻す ← 今回
• ③ 実戦：迷いやすい問題で見分け方を使う

 

展開の逆は何？答えは因数分解

展開の逆は、因数分解です。

展開が「かっこを外して式を広げること」なら、因数分解は「広がった式を、もとのかけ算の形に戻すこと」です。

たとえば、次の2つは逆の関係になっています。

• 展開：(x+2)(x+3) を x²+5x+6 に広げる
• 因数分解：x²+5x+6 を (x+2)(x+3) に戻す

操作	何をするか	例
展開	かっこを外して式を広げる	(x+2)(x+3)=x²+5x+6
因数分解	広がった式をかけ算の形に戻す	x²+5x+6=(x+2)(x+3)

動画を逆再生するように、展開で広がった式をもとの形へ戻していくと考えると、イメージしやすくなります。

この記事では、因数分解の最初に身につけたい基本パターンにしぼり、「どの式に、どの考え方を使うか」を見分ける順番を整理します。

公式を一度にすべて覚えようとしなくても大丈夫です。まずは、式を見る順番を一つずつ身につけていきましょう。

展開がまだあやしい人は、先に①を見よう

因数分解は、展開の逆です。
だから、展開の感覚がまだふわっとしている人は、先に①を見てから戻ってくると、ぐっとわかりやすくなります。

→ ⭐ 【高校数学①】多項式の展開をゼロから理解する｜中学→高校へのつまずきが消える入門ガイド

まずこれだけ覚えよう

因数分解で迷ったときは、次の順番で見ると整理しやすいです。

因数分解を見る順番

因数分解で迷ったときは、次の順番で式を見てみましょう。

1. まず、すべての項に共通する数や文字がないか見る
2. 2項なら、平方の差の形になっていないか見る
3. 3項なら、完全平方の公式に当てはまらないか見る
4. x²+bx+c の形なら、掛けて c、足して b になる2つの数を探す
5. 因数分解したあと、まだ因数分解できる部分が残っていないか見る
6. 最後に展開して、もとの式に戻るか確認する

この順番を頭に入れておくだけで、
「どれを使えばいいのかわからない……」がかなり減ります。

特に大切なのは、最初に共通因数を見ることです。

そのあとで、項の数や式の形を見ながら、使える公式や考え方を探していきましょう。

共通因数 → 項の数 → 式の形 → 最後まで因数分解できたか

この流れを意識すると、公式をなんとなく当てはめるのではなく、「なぜこの方法を使うのか」が見えやすくなります。

因数分解の見分け方

ここでは、「どんな式なら、どんな考え方を使うのか」を表で整理しておきます。

まず見ること	注目ポイント	使う考え方	例
① 共通因数がある？	すべての項に共通する数や文字があるか	先にくくる	2a²+6a=2a(a+3)
② 2項式？	引き算で、両方の項が平方の形になっているか	平方の差	x²-9=(x+3)(x-3)
③ 3項式？	完全平方の形になっているか	公式を使う	x²+2x+1=(x+1)²
④ x²+bx+c 型？	x²の係数が1になっているか	掛けてc、足してbになる2数を探す	x²+7x+10=(x+5)(x+2)

表は、全部一気に覚えなくて大丈夫です。

まずは、「共通因数を見る → 項の数を見る → 式の形を見る」という流れを意識してみてください。

基本パターン① 共通因数でくくる

最初にいちばん見たいのは、共通因数でくくれるかどうかです。

たとえば、

2a²+6a

なら、どちらの項にも 2a が入っています。

だから、

2a²+6a = 2a(a+3)

とできます。

ここが大事

因数分解では、いきなり公式を探しにいくより、
まず「みんなに共通して入っているものはないかな？」
と見るのがコツです。

ここを見落とす人は本当に多いので、最初に習慣にしてしまいましょう。

基本パターン② a²+2ab+b²

次は、よく出る公式の1つです。

a²+2ab+b²=(a+b)²

たとえば、

x²+6x+9

を見てみると、

• x²
• 9 = 3²
• 真ん中の 6x は 2・x・3

という形になっています。

だから、

x²+6x+9=(x+3)²

と因数分解できます。

ここでは、
最初と最後が平方数になっているか
を見ると、かなり気づきやすくなります。

基本パターン③ a²-2ab+b²

これはさっきと似ていますが、真ん中がマイナスになります。

a²-2ab+b²=(a-b)²

たとえば、

x²-4x+4

なら、

• x²
• 4 = 2²
• 真ん中の -4x は -2・x・2

なので、

x²-4x+4=(x-2)²

です。

見た目はよく似ていますが、
真ん中の符号がプラスかマイナスか
は、しっかり見ておきたいところです。

基本パターン④ 平方の差 a²-b²

これは2項のときによく出てきます。

a²-b²=(a+b)(a-b)

たとえば、

x²-16

は、

• x²
• 16 = 4²

なので、

x²-16=(x+4)(x-4)

とできます。

2項で引き算が出てきたら、
「平方の差かな？」
と一度立ち止まってみると見つけやすいです。

つまずきやすい勘違い3つ

因数分解では、考え方が合っていても途中でミスしやすいです。
ここは、よくあるつまずきを先に見ておきましょう。

1. いきなり公式を探してしまう

まずは共通因数を見ます。
ここを飛ばすと、もったいないミスにつながりやすいです。

2. 平方の差と (a-b)² を混同してしまう

• a²-b² は 平方の差
• a²-2ab+b² は (a-b)²

似て見えるので、ここは落ち着いて区別したいですね。

3. 因数分解したあとに確認しない

最後に一度展開してみると、
「ちゃんと元の式に戻るかな？」
を確認できます。

このひと手間で、符号ミスに気づけることがよくあります。

例題で見分け方を確認しよう

ここからは、実際にどの形かを見ながら進めていきましょう。
答えだけではなく、どこを見たかも大切にしてみてください。

レベル1：まずは共通因数

例題1

3x²+6x

見抜きポイント
まずは共通因数があるかを見ます。
ここでは 3x が共通しています。

答え
3x²+6x=3x(x+2)

レベル2：公式そのまま

例題2

x²+8x+16

見抜きポイント
3項式です。最初と最後が平方数で、真ん中が 2ab の形になっているかを見ます。

答え
x²+8x+16=(x+4)²

例題3

x²-10x+25

見抜きポイント
最後は 25 = 5²。真ん中の -10x が -2・x・5 の形になっています。

答え
x²-10x+25=(x-5)²

例題4

x²-49

見抜きポイント
2項で引き算、しかもどちらも平方数。これは平方の差です。

答え
x²-49=(x+7)(x-7)

レベル3：少し迷う問題

例題5

x²+7x+10

見抜きポイント
3項式ですが、(a+b)² の公式そのままではありません。
掛けて10、足して7になる数の組み合わせを考えます。

答え
x²+7x+10=(x+5)(x+2)

ここは少しだけ迷いやすいですが、
「公式そのままじゃないな」と気づけることも大事な一歩です。

会話でじっくり理解したい人へ

この記事は、最短で整理する基礎版です。

「失敗しやすいところを会話つきでゆっくり理解したい」
「流れで覚えたい」
という人は、物語版から入るのもおすすめです。

→ 因数分解の練習問題を物語で解く｜展開の逆を楽しく定着させる高校数学ドリル

悪もこあい先生のチャレンジ問題｜最後に1問だけ挑戦！

ここまで読めた人は、最後に1問だけやってみましょう。

問題

2x²-18

ヒント

いきなり公式を探しにいく前に、

共通因数 → 2項 → 3項

の順で見てみましょう。

考え方

まず、どちらの項にも 2 が入っています。

だから、

2x²-18=2(x²-9)

とできます。

そのあとで中を見てみると、

x²-9

は平方の差です。

だから、

x²-9=(x+3)(x-3)

となります。

答え

2x²-18=2(x+3)(x-3)

悪もこあい先生のひとこと

「最初から公式ばかり追いかけると、大事な入口を見落とすわよ。」

1分チェック

最後に、次の4つを確認してみましょう。

• まず共通因数を見た
• 2項か3項かを見た
• 公式の形に合うか確認した
• 因数分解したあと、展開で戻るか確かめた

この4つを意識できるだけでも、因数分解はかなり安定してきます。

因数分解で符号ミスや見落としが多い人は、こちらもどうぞ。
数学で点を落としやすい原因を、タイプ別に整理しています。

→ 数学のケアレスミスを減らす方法｜理解不足との見分け方・4タイプ別対策

まとめ

今回は、

• 展開の逆が因数分解であること
• 因数分解の見分け方
• 基本パターン
• 例題での考え方

を整理しました。

因数分解でいちばん大切なのは、
公式をただ覚えることより、
「この式はどの形かな？」と落ち着いて見ることです。

迷ったときは、まず

共通因数 → 2項 → 3項

の順で見てみてください。
それだけでも、かなり見通しがよくなります。

次に読むなら｜因数分解の前後をつなげよう

因数分解は、単独で覚えるよりも「展開の逆」「二次方程式で使う」「ミスを減らす」という流れで見ると、理解が安定します。

この高校数学シリーズでは、公式を暗記するだけでなく、「どの形かを見分けて、自分で選べるようになること」を大切にしています。因数分解も、順番に見ていけば、ちゃんと整理できるようになります。

もこあい先生より：「今日の“なんで？”を大切にしよう。正解より、考えた道のりが宝もの。」

訂正・更新履歴

• 2025年9月17日：初稿を公開しました。
• 2026年8月20日：
  記事内で重複していた「展開の逆は何？答えは因数分解」の章を整理し、同じ内容が連続しない構成に修正しました。
• 2026年8月20日：
  「因数分解を見る順番」を見直しました。共通因数、項の数、完全平方、平方の差、x²+bx+c 型の確認に加え、因数分解できる部分が残っていないか、最後に展開して元の式へ戻るかまで確認する流れに整理しました。
• 2026年8月20日：
  x²+bx+c 型の因数分解について、x² の係数が1の場合に使う基本的な見分け方であることを明確にしました。係数が1ではない3項式については、たすき掛けなど別の考え方が必要になることを追記しました。
• 2026年8月20日：
  「平方差」などの表現を「平方の差」に整理し、完全平方との違いが分かりやすくなるよう説明を調整しました。

※この記事では、数学的な正確さと初学者の分かりやすさを両立するため、必要に応じて説明や例題を見直しています。

参考文献・出典

この記事では、高校数学Ⅰの「数と式」で扱う因数分解の基本内容をもとに、初学者にも理解しやすいように表現を整理しています。公式の扱い方や学習順については、以下の資料を参考にしました。

1. 文部科学省『高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編』数学Ⅰ「数と式」における、二次の乗法公式及び因数分解の公式、式を目的に応じて変形する考え方を参照。文部科学省公式資料参照日：2026年5月7日
2. 啓林館『1 式の展開と因数分解｜学習の順序についてのQ&A』因数分解の公式の指導順や、二次方程式とのつながりに関する説明を参照。啓林館公式資料参照日：2026年5月7日

※この記事では、上記資料を参考にしつつ、読者が因数分解の見分け方を実際に使えるよう、説明の順番や例題の見せ方を独自に整理しています。