因数分解の練習問題を物語で解く｜展開の逆を楽しく定着させる高校数学ドリル
こんにちは、もこあい先生です。
今回は、数学シリーズの外伝です。
この記事は、因数分解の公式や基本ルールを最初から説明する本編ではなく、因数分解を物語と練習問題で定着させるための記事です。
「因数分解の説明は読んだけど、問題になると手が止まる」
「どの型を使えばいいのか混ざる」
「展開の逆と言われても、まだピンとこない」
そんな人向けに、今回は因数分解の町を旅しながら、問題を1つずつ解いていきます。
数学シリーズ外伝：
この記事は、因数分解を「物語」「練習問題」「記憶のフック」で定着させる記事です。基本の解き方を先に整理したい人は、以下の本編記事もあわせて確認してください。
〖高校数学②〗展開の逆とは？因数分解の見分け方と基本パターン
この記事で練習すること
この記事では、因数分解を次の流れで練習します。
| 練習する型 | 見るポイント | 例 |
|---|---|---|
| 共通因数でくくる | すべての項に共通する数字や文字があるか | 3x²+6x = 3x(x+2) |
| 公式を使う | 平方・差の平方などの形に見えるか | x²-4 = (x+2)(x-2) |
| x²+ax+b 型 | 足してa、かけてbになる2つの数を探す | x²+5x+6 = (x+2)(x+3) |
| たすき掛け | x²の係数が1ではないときに使う | 2x²+7x+3 = (2x+1)(x+3) |
| 展開チェック | 最後に元の式へ戻るか確認する | (x+2)(x+3) → x²+5x+6 |
| できない判定 | 無理に分解しない判断をする | x²+x+1 |
因数分解は、いきなり答えを探すより、見る順番を決めるとかなり楽になります。
因数分解の旅のしおり
ここからは、因数分解の町を旅するつもりで進みます。
因数分解の旅のしおり
- 共通因数の門：まず、くくれるものを探す
- 公式の広場：見覚えのある形を探す
- 足して・かけて通り：x²+ax+b 型を整理する
- たすき掛けの橋：x²の係数が1ではない式に挑む
- モンスターの森：分解できない式に注意する
- ボス戦：どの型を使うか自分で選ぶ
健太は、しおりを見ながら言いました。
健太：「なんかゲームっぽいけど、ちゃんと数学なの？」
もこあい先生：「もちろん。物語は、あくまで覚えやすくするための道具です。大切なのは、式を見る順番を身につけることですよ。」
共通因数の門｜まず、くくれるものを探そう
因数分解の町に入ると、最初に見えるのは「共通因数の門」です。
共通因数とは、すべての項に共通して入っている数字や文字のことです。
たとえば、次の式を見てみましょう。
3x² + 6xこの式では、3x² と 6x の両方に 3x が入っています。
だから、3x でくくることができます。
3x² + 6x = 3x(x+2)恵子の攻略メモ：
因数分解では、いきなり公式を探す前に、まず「共通因数でくくれないか」を見ましょう。
健太のセーブポイント：
ここでは「まず、くくれるものを探す」と覚えればOKです。
公式の広場｜見覚えのある形を探そう
共通因数の門を抜けると、次は「公式の広場」です。
ここでは、展開公式の逆を使います。
たとえば、次の式です。
x² - 9これは、x² - 3² と見ることができます。
つまり、差の平方の形です。
x² - 9 = (x+3)(x-3)展開すると、元に戻ります。
(x+3)(x-3) = x² - 9悪もこあい先生の一撃：
「公式を覚えるだけで満足するな。展開して戻るかまで確認しな。」
展開の公式があやしい人は、先にこちらで確認しておくと楽です。
足して・かけて通り｜x²+ax+b 型を練習しよう
次に進むのは、「足して・かけて通り」です。
ここでは、次のような形を見ます。
x² + ax + bポイントは、足してa、かけてbになる2つの数を探すことです。
たとえば、次の式です。
x² + 5x + 6足して5、かけて6になる2つの数を探します。
- 2 + 3 = 5
- 2 × 3 = 6
だから、次のように因数分解できます。
x² + 5x + 6 = (x+2)(x+3)最後に展開して確認します。
(x+2)(x+3) = x² + 5x + 6健太のミス：
健太：「x²+5x+6 は、(x+1)(x+6) でもいい？」
恵子の直し方：
恵子：「展開すると x²+7x+6 になるよ。かけて6だけじゃなく、足して5も必要だね。」
たすき掛けの橋｜少し複雑な式に挑戦しよう
次は「たすき掛けの橋」です。
ここでは、x² の係数が1ではない式を扱います。
たとえば、次の式です。
2x² + 7x + 3この式は、次のように因数分解できます。
2x² + 7x + 3 = (2x+1)(x+3)展開して確認してみます。
(2x+1)(x+3)
= 2x² + 6x + x + 3
= 2x² + 7x + 3たすき掛けは、慣れるまで少し時間がかかります。最初は「展開して戻るか」を確認しながら進めれば大丈夫です。
恵子の攻略メモ：
たすき掛けは、答えを暗記するより「展開したら真ん中の項が合うか」を見ると安定します。
出口の門｜展開チェックで元に戻るか確認しよう
因数分解の町では、出口の門で必ず確認することがあります。
それが、展開チェックです。
因数分解した答えは、展開して元の式に戻ればOKです。
x² + 5x + 6 = (x+2)(x+3)これを展開すると、
(x+2)(x+3)
= x² + 3x + 2x + 6
= x² + 5x + 6元の式に戻りました。
つまり、この因数分解は正しいと確認できます。
悪もこあい先生の禁止ワード：
「なんとなく分解できそう」は禁止。最後に展開して、元の式に戻るか確認しな。
分解できないモンスターに注意｜無理に因数分解しない問題もある
因数分解の町には、「分解できないモンスター」もいます。
これは、見た目は因数分解できそうなのに、整数の範囲ではきれいに分解できない式のことです。
たとえば、次の式を見てみましょう。
x² + x + 1これを (x+□)(x+△) の形にしたい場合、次の2つを満たす数を探します。
- 足して1
- かけて1
しかし、整数ではそのような組み合わせが見つかりません。
このようなときは、無理に形を作らず、「整数の範囲では因数分解できない」と判断することも大切です。
モンスター判定練習
| 式 | 判定 | 理由 |
|---|---|---|
| x² + 5x + 6 | 分解できる | 足して5、かけて6 → 2と3 |
| x² + x + 1 | 整数の範囲では分解できない | 足して1、かけて1になる整数ペアがない |
| x² – 4 | 分解できる | 差の平方 → (x+2)(x-2) |
| x² + 2x + 5 | 整数の範囲では分解できない | 足して2、かけて5になる整数ペアがない |
用語メモ：
「分解できないモンスター」は、この記事で分かりやすく説明するための呼び方です。正式な数学用語ではありません。
学校やテストでは、「整数の範囲では因数分解できない」、または「今学んでいる範囲では因数分解しにくい」という言い方を使いましょう。
ボス戦｜どの型を使うか自分で選ぼう
ここまで来たら、最後はボス戦です。
ボス戦では、最初から型を教えません。自分で「どこを見るか」を選びます。
問題1
4x² + 8xヒントを見る
すべての項に共通する数字や文字がないか確認しましょう。
解答：
4x² + 8x = 4x(x+2)問題2
x² - 16ヒントを見る
差の平方の形になっていないか確認しましょう。
解答：
x² - 16 = (x+4)(x-4)問題3
x² + 8x + 15ヒントを見る
足して8、かけて15になる2つの数を探しましょう。
解答：
x² + 8x + 15 = (x+3)(x+5)問題4
x² + x + 1ヒントを見る
足して1、かけて1になる整数ペアがあるか確認しましょう。
解答：
整数の範囲では因数分解できません。
もこあい先生より：
ボス戦で大事なのは、全部を一瞬で解くことではありません。どの型から見るかを選べるようになることです。
どこで間違えた？因数分解のつまずき診断
因数分解で間違えたときは、「自分は数学が苦手だ」と決めつけなくて大丈夫です。
多くの場合、戻る場所が分かれば立て直せます。
| 起きたこと | 原因 | 戻る場所 |
|---|---|---|
| 答えが合わない | 展開チェックをしていない | 出口の門：展開チェック |
| どの型か分からない | 見る順番が決まっていない | 旅のしおり |
| 公式に気づけない | 展開公式の形がまだあやしい | 公式の広場 |
| 無理に分解してしまう | 整数ペアがない式を見抜けていない | モンスターの森 |
| 二次方程式で使えない | 因数分解と方程式のつながりが見えていない | 二次方程式の記事へ進む |
因数分解が二次方程式でどう使われるかを知りたい人は、こちらの記事もおすすめです。
この外伝のクリア条件
この記事を読んだあと、次のことができればクリアです。
- 最初に共通因数を確認できる
- 公式の形に気づける
- 足して・かけて型を試せる
- たすき掛けを展開チェックで確認できる
- 分解できない式を無理に分解しない
- 最後に展開して元に戻るか確認できる
完璧に解けなくても大丈夫です。まずは「見る順番」を思い出せることが大切です。
今日できる最小行動｜1問だけ解いてみよう
最後に、今日できる最小行動です。
今日はこの1問だけでOKです。
x² + 5x + 6見る順番はこうです。
- 共通因数はある？
- 公式の形に見える？
- 足して5、かけて6になる2つの数は？
- 展開して元に戻る？
答えは、
x² + 5x + 6 = (x+2)(x+3)です。
展開すると、
(x+2)(x+3) = x² + 5x + 6元に戻ります。
健太のセーブポイント：
今日は1問だけでOK。因数分解は、たくさん解く前に「見る順番」を1回確認するところから始めよう。
因数分解ミニ辞書｜この記事で出てきた言葉
| 言葉 | 意味 |
|---|---|
| 因数分解 | 1つの式を、かけ算の形へ戻すこと |
| 展開 | かけ算の形を、たし算の形へ広げること |
| 共通因数 | すべての項に共通して入っている数字や文字 |
| 公式 | よく出る形をまとめた計算の型 |
| 差の平方 | x²-a²=(x+a)(x-a) の形 |
| たすき掛け | x²の係数が1ではない式などを因数分解するときに使う方法 |
| 展開チェック | 因数分解した答えを展開して、元の式に戻るか確認すること |
| 分解できないモンスター | この記事内での呼び方。整数の範囲では因数分解しにくい式のこと |
次に読む記事｜本編に戻って整理しよう
この外伝で因数分解の流れをつかめたら、次は本編記事で公式・解法・見分け方を整理してみましょう。
- 【高校数学①】多項式の展開をゼロから理解する
- 〖高校数学②〗展開の逆とは？因数分解の見分け方と基本パターン
- 因数分解・平方完成・解の公式を「選べる」ようになる授業
- 【数学シリーズ④】二次関数が苦手な人へ｜平方完成は「翻訳」だった
- 〖数学シリーズ⑤〗二次関数のグラフがわからない人へ｜a・p・q は何を動かしている？
まとめ｜本編で理解、外伝で定着しよう
因数分解は、ただ公式を覚えるだけでは使いにくい単元です。
大切なのは、式を見たときに、
- 共通因数はあるか
- 公式の形に見えるか
- 足して・かけて型か
- たすき掛けが必要か
- 展開して元に戻るか
- 無理に分解しようとしていないか
を順番に確認することです。
この外伝では、因数分解の町を旅しながら、その順番を練習しました。
本編で理解し、外伝で定着する。
この2つを行き来できるようになると、因数分解はかなり扱いやすくなります。
もこあい先生より：
「今日の“なんで？”を大切にしよう。正解より、考えた道のりが宝もの。」
参考文献・出典（クリックして開く）
※この記事は、高校数学の因数分解を学ぶ読者向けに、物語・比喩・練習問題を使って理解を助ける目的で作成しています。「因数分解の町」「分解できないモンスター」などは、この記事内で理解補助として使う表現であり、正式な数学用語ではありません。学校やテストでは、教科書・授業ノート・先生の表現もあわせて確認してください。
- 文部科学省『高等学校学習指導要領（平成30年告示）』数学Ⅰ
- 文部科学省『高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編』
- 国立教育政策研究所『「指導と評価の一体化」のための学習評価に関する参考資料 高等学校 数学』
- 使用中の高等学校数学Ⅰ教科書・授業ノート・学校配布プリント
