【高校数学④】二次関数がわからない人へ｜平方完成・頂点・軸・最大最小の見方
二次方程式までは何とかついていけたのに、二次関数になった瞬間に、
「急に何を見ればいいのか分からなくなった」
と感じていませんか。
たとえば、
- 平方完成はできるけれど、そのあと何を読めばいいのか分からない
- 頂点の座標で符号を間違える
- 軸の式がすぐに出てこない
- 最大値・最小値では、頂点だけ見ればいいのか迷う
- 式とグラフが別の話に見えてしまう
こうしたところで止まりやすいのが、二次関数です。
もこあい先生より
「二次関数は、急に新しいことをしているように見えるけれど、実はそうではありません。
今までやってきた展開・因数分解・平方完成が、ここで“グラフの情報を読む道具”としてつながっていきます。」
この記事では、二次関数を次の流れで整理します。
式を読める形に直す
↓
頂点・軸・開く向きを読む
↓
xの範囲を見る
↓
最大値・最小値を判断する
キーワードは、
平方完成は「計算」だけではなく、式を読める形にする翻訳
という考え方です。
前回の高校数学③で使った平方完成が、ここから二次関数を見るための道具に変わっていきます。
- この高校数学シリーズの地図
- 最初に確認｜二次関数のどこで止まっていますか？
- 先に結論｜二次関数は「読める形」に翻訳する
- 二次方程式と二次関数｜同じ平方完成でも目的が違う
- 二次関数で最初に見る4つ
- 平方完成①｜x²の係数が1なら「真ん中の半分」を見る
- 平方完成②｜x²の係数が1ではないなら、まずくくる
- 頂点の符号に注意｜「x-p」の形で読む
- 定義域と値域｜最大・最小の前にここを見る
- 最大・最小①｜xがすべての実数を動く場合
- 最大・最小②｜xの範囲が指定されている場合
- 例題1｜上に開く・頂点が範囲内
- 例題2｜上に開く・頂点が範囲外
- 例題3｜下に開く・頂点が範囲内
- 最大・最小で迷ったら｜ラフなグラフを描く
- 悪もこあい先生の罠｜二次関数でやりがちな3つの近道
- 二次関数でよくある6つのミス
- ミニ診断｜どこまで自分で読める？
- AIを使って練習するときは「答え」より途中を見てもらう
- 分からなくなったときの戻り道
- 保存用｜二次関数を見る6項目チェック
- ミニ辞典｜二次関数で出てくる言葉
- まとめ｜二次関数は「計算して終わり」ではない
- 今日できる最小行動
- 次に読むなら｜二次関数のグラフへ
- 訂正・追記履歴
- 参考文献・確認資料
この高校数学シリーズの地図
まずは、今回の二次関数がシリーズのどこにあるのかを確認しておきましょう。
高校数学①｜展開
式を広げる
↓
高校数学②｜因数分解
広がった式を、かけ算の形へ戻す
↓
高校数学③｜二次方程式
式の形を見て、xを求める方法を選ぶ
↓
高校数学④｜二次関数 ← 今ここ
平方完成して、式から情報を読む
↓
高校数学⑤｜二次関数のグラフ
a・p・qからグラフの動きを読む・描く
二次関数だけを突然理解しようとするより、
「これまで覚えた計算が、何のために使われているのか」
をつなげて見ると分かりやすくなります。
最初に確認｜二次関数のどこで止まっていますか？
まず、自分がどこで止まっているのかを確認してみましょう。
A｜平方完成そのものが分からない
たとえば、
y=x2+4x+1
を、
y=(x+2)2-3
へ変形するところで止まる。
→ この記事の「平方完成①」から確認します。
B｜x²の係数が1ではないと分からない
たとえば、
y=2x2+4x+1
で、何から始めればよいか分からない。
→ 「平方完成②」を確認します。
C｜平方完成はできるけれど、頂点が読めない
y=(x-3)2+2
を見て、
「頂点は(-3,2)？ (3,2)？」
と迷う。
→ 「頂点の符号に注意」を確認します。
D｜最大・最小になると止まる
頂点だけ調べればよいのか、端点まで代入するのか分からない。
→ 「最大・最小」を確認します。
全部を最初から完璧にする必要はありません。
止まっている場所まで戻ればよいと考えてください。
先に結論｜二次関数は「読める形」に翻訳する
二次関数では、よく次の形が出てきます。
y=ax2+bx+c
このままでも二次関数ですが、グラフについて知りたい情報は少し読み取りにくい形です。
そこで平方完成して、
y=a(x-p)2+q
という形に直します。
すると、
- 頂点：(p,q)
- 軸：x=p
- a>0：上に開く
- a<0：下に開く
という情報が見えるようになります。
つまり平方完成は、計算を複雑にするための作業ではありません。
見えにくかった情報を、読める形へ翻訳する作業です。
二次方程式と二次関数｜同じ平方完成でも目的が違う
ここは高校数学③との大切なつながりです。
二次方程式では、
x2-4x-1=0
を平方完成して、
(x-2)2=5
とすれば、
x=2±√5
のようにxを求めることができます。
一方、二次関数では、
y=x2-4x-1
を平方完成すると、
y=(x-2)2-5
となります。
ここではxを求めることが目的ではありません。
この形から、
- 頂点：(2,-5)
- 軸：x=2
- 上に開く
という情報を読みます。
つまり同じ平方完成でも、
二次方程式 → xを求めるため
二次関数 → グラフの情報を読むため
に使われます。
二次関数で最初に見る4つ
二次関数の問題を見たら、まず次の4つを意識します。
① 頂点
放物線の折り返し地点です。
y=a(x-p)2+q
なら、
頂点は(p,q)
です。
② 軸
放物線を左右対称に分ける直線です。
軸はx=p
です。
③ aの符号
a>0なら上に開きます。
a<0なら下に開きます。
aの絶対値によるグラフの広がり方については、高校数学⑤で詳しく扱います。
④ xの範囲（定義域）
xが動いてよい範囲です。
たとえば、
0≦x≦3
なら、xは0から3までの範囲を動きます。
特に最大値・最小値では、この範囲を見落とさないことが重要です。
平方完成①｜x²の係数が1なら「真ん中の半分」を見る
例として、
y=x2+4x+1
を考えます。
まず、
x2+4x
に注目します。
4の半分は2です。
そして、
22=4
なので、
x2+4x+4
を作れば、
(x+2)2
になります。
ただし、勝手に4を足したままにはできません。
そこで、
y=x2+4x+1
=(x2+4x+4)-4+1
=(x+2)2-3
となります。
これで、
y=(x+2)2-3
という読める形になりました。
ここで、
x+2=x-(-2)
なので、
- 頂点：(-2,-3)
- 軸：x=-2
- a=1なので上に開く
と読めます。
平方完成の最小ルール
真ん中の係数を半分
↓
その数を2乗する
↓
中に足したら外で戻す
なぜ足した分を戻すの？
ここを丸暗記すると、途中で符号を間違えやすくなります。
たとえば、
x2+4x
に4を足して、
x2+4x+4
にすると、元の式より4大きくなっています。
だから、+4したあとに-4して元の値へ戻します。
つまり、
形だけ変えて、式そのものの値は変えない
ための操作です。
平方完成は「適当に数を足す計算」ではありません。
同じ式のまま、見やすい形へ並べ替えている
と考えてみましょう。
平方完成②｜x²の係数が1ではないなら、まずくくる
ここが平方完成で止まりやすいところです。
例として、
y=2x2+4x+1
を考えます。
いきなり平方の形を作ろうとせず、まずx2とxの項から2をくくります。
y=2(x2+2x)+1
ここから、かっこの中だけを平方完成します。
2の半分は1です。
そして、
12=1
なので、
y=2(x2+2x+1)-2+1
となります。
なぜ外で「-1」ではなく「-2」なのでしょうか。
かっこの外に2があるためです。
かっこの中へ1を足すと、式全体では、
2×1=2
増えています。
だから、外で2を引いて元へ戻します。
続けると、
y=2(x+1)2-1
です。
したがって、
- 頂点：(-1,-1)
- 軸：x=-1
- a=2なので上に開く
と読めます。
x²の係数が1ではないときの順番
- x2とxの項から、x2の係数をくくる
- かっこの中を平方完成する
- 外側の係数まで含めて、足した分を戻す
- y=a(x-p)2+q の形から読む
平方完成できたら「展開して戻るか」で確認できる
平方完成の途中で、
「これ、本当に合っているのかな？」
と不安になったら、逆向きに確認できます。
たとえば、
2(x+1)2-1
=2(x2+2x+1)-1
=2x2+4x+2-1
=2x2+4x+1
元の式へ戻りました。
これなら平方完成は正しいと確認できます。
高校数学①の「展開」が、ここで検算として使えるわけです。
数学では、前に習った内容が、あとで確認方法として戻ってくることがあります。
頂点の符号に注意｜「x-p」の形で読む
非常に多いミスがこれです。
y=(x-3)2+2
の頂点を、
(-3,2)
としてしまうことがあります。
しかし、
y=a(x-p)2+q
と比べると、p=3です。
したがって、
頂点は(3,2)
です。
一方、
y=(x+3)2+2
なら、
x+3=x-(-3)
なので、
頂点は(-3,2)
です。
符号で迷ったとき
無理に暗記せず、
「x-p」の形に直して読む
だけで構いません。
x+3
↓
x-(-3)
↓
p=-3
定義域と値域｜最大・最小の前にここを見る
ここから最大値・最小値へ進みます。
その前に、定義域と値域を分けておきましょう。
定義域
xがとることのできる範囲です。
たとえば、
0≦x≦3
なら、xは0以上3以下の範囲を動きます。
値域
その定義域の中で、yがとることのできる範囲です。
二次関数の最大値・最小値では、
定義域の中で、yがどこまで大きく・小さくなるか
を調べています。
そのため、頂点がどこにあるかだけでなく、
その頂点のx座標が定義域に入っているか
を見る必要があります。
最大・最小①｜xがすべての実数を動く場合
まず、
y=a(x-p)2+q
で、xがすべての実数を動く場合を考えます。
a>0なら上に開く
上に開く放物線では、頂点が一番低い場所です。
したがって、
最小値はq（x=pのとき）
です。
一方、上方向にはどこまでも大きくなるため、
最大値はありません。
たとえば、
y=2(x+1)2-3
なら、
- 頂点：(-1,-3)
- 最小値：-3（x=-1のとき）
- 最大値：なし
a<0なら下に開く
下に開く放物線では、頂点が一番高い場所です。
したがって、
最大値はq（x=pのとき）
です。
一方、下方向にはどこまでも小さくなるため、
最小値はありません。
ここで、
「二次関数なら必ず最大値と最小値の両方がある」とは限らない
ことを覚えておきましょう。
最大・最小②｜xの範囲が指定されている場合
高校数学Ⅰでは、
0≦x≦3
のように、xの範囲が指定された問題もよく扱います。
この場合は、
最大・最小の候補を拾って比べる
と考えると整理しやすくなります。
両端を含む範囲なら、候補になるのは、
- 左の端点
- 右の端点
- 頂点が定義域の中にあるなら、その頂点
です。
つまり、
端点＋範囲内の頂点
を調べます。
ただし、これは、
0≦x≦3
のように両端を含む範囲を考えるときの基本手順です。
0<x<3
のように端点を含まない条件では、x=0やx=3そのものを使うことはできません。
その場合、条件によっては最大値や最小値が存在しないこともあります。
例題1｜上に開く・頂点が範囲内
次の関数について、
y=(x-1)2-2
-1≦x≦2
での最大値と最小値を求めます。
① 頂点を見る
頂点は、
(1,-2)
です。
頂点のx座標1は、
-1≦x≦2
の中にあります。
したがって、頂点も候補です。
② 端点を調べる
x=-1のとき、
y=(-1-1)2-2
=4-2
=2
x=2のとき、
y=(2-1)2-2
=1-2
=-1
頂点では、x=1のとき、
y=-2
です。
③ 比べる
- x=-1 → y=2
- x=1 → y=-2
- x=2 → y=-1
したがって、
最大値は2（x=-1のとき）
最小値は-2（x=1のとき）
です。
例題2｜上に開く・頂点が範囲外
次は、
y=(x-3)2+1
0≦x≦2
を考えます。
頂点は、
(3,1)
です。
しかし、x=3は、
0≦x≦2
の外です。
つまり今回、
頂点は最大・最小の候補に入りません。
そこで端点を調べます。
x=0のとき、
y=(0-3)2+1
=9+1
=10
x=2のとき、
y=(2-3)2+1
=1+1
=2
したがって、
最大値は10（x=0のとき）
最小値は2（x=2のとき）
です。
ここで、
「頂点が(3,1)だから最小値は1」
としてはいけません。
x=3は定義域に含まれていないからです。
頂点が存在することと、その頂点を今回使えることは別
です。
例題3｜下に開く・頂点が範囲内
今度は下に開く二次関数です。
y=-(x+1)2+4
-2≦x≦2
について考えます。
頂点は、
(-1,4)
です。
x=-1は定義域に入っています。
端点も調べます。
x=-2のとき、
y=-(-2+1)2+4
=-1+4
=3
x=2のとき、
y=-(2+1)2+4
=-9+4
=-5
頂点では、x=-1のとき、
y=4
です。
候補を並べると、
- x=-2 → y=3
- x=-1 → y=4
- x=2 → y=-5
したがって、
最大値は4（x=-1のとき）
最小値は-5（x=2のとき）
です。
「頂点はいつも最小になる」わけではありません。
上に開くか、下に開くか
によって頂点の役割が変わります。
最大・最小で迷ったら｜ラフなグラフを描く
正確なグラフを完成させなくても構いません。
最大値・最小値だけなら、
- 頂点を書く
- 軸を書く
- 上に開くか下に開くかを見る
- xの範囲の左右端を確認する
この4つだけのラフな図でも、かなり判断しやすくなります。
グラフは「きれいに描く絵」ではありません。
式から読み取った情報が矛盾していないか確認する図
として使えます。
実際にグラフをどう描くか、a・p・qが何を表すのかは、高校数学⑤で詳しく見ていきます。
悪もこあい先生の罠｜二次関数でやりがちな3つの近道
悪もこあい先生：
「速く解きたいなら、細かい条件なんて飛ばしちゃおうか。」
罠1｜「x+3なら、頂点のx座標は3でしょ？」
y=(x+3)2+1
は、
y=(x-(-3))2+1
です。
したがって、
頂点は(-3,1)
です。
符号だけを見て決めず、x-pの形に直すのが安全です。
罠2｜「上に開いているなら、頂点が最小で決定！」
これは、xの範囲が指定されていると危険です。
たとえば頂点のx座標が5でも、
0≦x≦3
ならx=5は使えません。
まず、
頂点が定義域に入っているか
を確認します。
罠3｜「最大・最小は頂点だけ計算すればいい」
範囲が指定されている問題では、端点が最大値や最小値になることがあります。
両端を含む範囲なら、
端点＋範囲内の頂点
を候補として見る習慣をつけておきましょう。
悪もこあい先生の近道は速そうに見えますが、
条件を見る作業を飛ばした近道は、間違いにつながります。
二次関数でよくある6つのミス
ミス1｜平方完成で足した数を戻さない
中へ足したら、式全体の値が変わらないように戻します。
x2の係数が1ではない場合は、外側の係数まで含めて考えます。
ミス2｜x²の係数が1ではないのに、そのまま平方完成を始める
まず、x2とxの項からx2の係数をくくります。
ミス3｜頂点のpの符号を逆にする
x-pの形に直して読みます。
ミス4｜軸を「p」とだけ書く
軸は数ではなく直線なので、
x=p
と書きます。
ミス5｜頂点が定義域に入っているか確認しない
最大・最小を考えるときには非常に重要です。
ミス6｜最大値・最小値だけ書いて、いつの値か確認しない
問題によっては、
「x=○のとき、最大値△」
まで答える必要があります。
最後に、問題文が何を求めているのか確認しましょう。
ミニ診断｜どこまで自分で読める？
ここまで読んだら、短い問題で確認してみましょう。
問題1
y=x2-6x+5
を平方完成し、頂点と軸を求めてください。
解答
y=x2-6x+5
=(x-3)2-9+5
=(x-3)2-4
したがって、
- 頂点：(3,-4)
- 軸：x=3
問題2
y=-2x2+8x-1
を平方完成し、頂点と開く向きを求めてください。
解答
y=-2x2+8x-1
=-2(x2-4x)-1
=-2{(x-2)2-4}-1
=-2(x-2)2+8-1
=-2(x-2)2+7
したがって、
- 頂点：(2,7)
- 軸：x=2
- a=-2なので下に開く
問題3
y=(x+2)2-3
について、xがすべての実数を動くときの最大値・最小値を考えてください。
解答
上に開く放物線なので、
最小値は-3（x=-2のとき）
です。
上方向にはどこまでも続くため、
最大値はありません。
問題4
y=(x-1)2
0≦x≦4
での最大値・最小値を求めてください。
解答
頂点は(1,0)で、定義域の中です。
候補は、
- x=0 → y=1
- x=1 → y=0
- x=4 → y=9
したがって、
最大値は9（x=4のとき）
最小値は0（x=1のとき）
です。
問題5
y=-(x-2)2+5
0≦x≦5
での最大値・最小値を求めてください。
解答
頂点は(2,5)で、定義域の中です。
候補は、
- x=0 → y=1
- x=2 → y=5
- x=5 → y=-4
したがって、
最大値は5（x=2のとき）
最小値は-4（x=5のとき）
です。
AIを使って練習するときは「答え」より途中を見てもらう
平方完成は、一人で途中式を確認するのが難しいことがあります。
そんなときはAIを、
答えを代わりに出す道具
ではなく、
途中式を確認する練習相手
として使う方法があります。
たとえば、次のように質問できます。
高校数学Ⅰの二次関数を練習しています。
次の式を平方完成したいです。
y=2x2+8x+3
答えを最初から全部出さず、私が1行ずつ変形するので、その行が正しいか確認してください。
間違っていた場合も、すぐ正解を出さず、「どこを見ると気づけるか」をヒントにしてください。
最後に、平方完成した式から頂点・軸・開く向きを私自身に答えさせてください。
AIの計算や説明にも誤りが混ざる可能性があります。
最後は、
- 展開して元の式へ戻るか
- 求めた値を自分で代入して確認する
- 学校の教科書・授業ノートとも照らす
という数学側の確認を残しておきましょう。
分からなくなったときの戻り道
二次関数は、一度分からなくなると、全部が分からなくなったように感じやすい単元です。
でも、戻る場所を分ければ整理できます。
平方完成で止まった
→ 「真ん中の係数を半分」のところへ戻ります。
x2の係数が1ではないなら、その前に係数をくくります。
頂点・軸で止まった
→
y=a(x-p)2+q
と並べます。
頂点は(p,q)、軸はx=pです。
最大・最小で止まった
→ いきなり計算せず、
xの範囲を見る
↓
頂点が範囲内か見る
↓
端点と範囲内の頂点を候補にする
という順番へ戻ります。
「最初から全部やり直す」のではなく、
止まった一段だけ戻る
のがポイントです。
保存用｜二次関数を見る6項目チェック
二次関数の問題を解き終えたら、次の6項目だけ確認してみましょう。
□ ① 読める形にできた？
必要なら、
y=a(x-p)2+q
へ平方完成した。
□ ② 頂点の符号は正しい？
頂点は、
(p,q)
です。
特に、
x+3=x-(-3)
に注意します。
□ ③ 軸を書けた？
軸は、
x=p
です。
□ ④ 上・下を確認した？
- a>0 → 上に開く
- a<0 → 下に開く
□ ⑤ xの範囲を確認した？
最大・最小では、頂点が範囲内にあるかを確認します。
両端を含む範囲なら、端点も確認します。
□ ⑥ 最大・最小の候補を全部比べた？
両端を含む範囲なら、
端点＋範囲内の頂点
を候補にして確認します。
最後に、問題文に合わせて、
「x=いくつのとき、値はいくつか」
まで確認します。
ミニ辞典｜二次関数で出てくる言葉
二次関数
一般に、
y=ax2+bx+c（a≠0）
の形で表される関数です。
放物線
二次関数のグラフの形です。
頂点
放物線の折り返し地点です。
y=a(x-p)2+q
なら、頂点は(p,q)です。
軸
放物線を左右対称に分ける直線です。
x=p
です。
定義域
xがとることのできる範囲です。
値域
定義域の中でyがとることのできる範囲です。
最大値
与えられた条件の中で、yが最も大きくなる値です。
最小値
与えられた条件の中で、yが最も小さくなる値です。
平方完成
二次式を、
a(x-p)2+q
のような平方を含む形へ変形することです。
二次関数では、頂点や軸などを読みやすくするために使います。
まとめ｜二次関数は「計算して終わり」ではない
二次関数で大切なのは、平方完成そのものだけではありません。
流れをもう一度まとめます。
① y=ax2+bx+cを見る
↓
② 必要なら平方完成する
↓
③ y=a(x-p)2+q に翻訳する
↓
④ 頂点(p,q)・軸x=p・aの符号を読む
↓
⑤ 最大・最小ならxの範囲を見る
↓
⑥ 端点と範囲内の頂点を候補にして比べる
平方完成は、面倒な計算方法ではありません。
式の中に隠れているグラフの情報を見えるようにする方法
です。
二次方程式では平方完成してxを求めました。
二次関数では平方完成して、頂点や軸を読みます。
同じ計算が、少しずつ違う役割を持ちながらつながっています。
今日できる最小行動
この記事を全部覚えようとしなくても構いません。
最後に一問だけ、
y=x2-4x+1
を平方完成してみてください。
できたら、
- 頂点
- 軸
- 上に開くか下に開くか
の3つを答えて終了です。
答えは、
y=(x-2)2-3
なので、
- 頂点：(2,-3)
- 軸：x=2
- 上に開く
です。
ここまで読めれば、次はグラフへ進めます。
次に読むなら｜二次関数のグラフへ
今回の記事では、
平方完成して、式から頂点・軸・最大最小を読む
ところまで進みました。
次の高校数学⑤では、
y=a(x-p)2+q
に出てきた、
a・p・qがグラフをどう動かすのか
を詳しく見ていきます。
- なぜpが左右の移動になるのか
- なぜqが上下の移動になるのか
- aで何が変わるのか
- 実際にグラフをどう描けばよいのか
が分からない人は、高校数学⑤へ進んでみてください。
反対に、平方完成そのものがまだ不安なら、この記事の平方完成まで戻るか、高校数学③まで戻って確認しても構いません。
数学は一本道ではありません。
分からなくなった場所まで戻って、またつなぎ直せばよい
のです。
もこあい先生より
「今日の“なんで？”を大切にしよう。正解より、考えた道のりが宝もの。」
訂正・追記履歴
2026年8月8日｜全面リライト
- 高校数学③「二次方程式」からのつながりを追加
- 平方完成を「読める形への翻訳」として再整理
- x2の係数が1の場合・1ではない場合の平方完成手順を再構成
- 平方完成後に展開して確認する方法を追加
- 頂点・軸・定義域・値域の説明を整理
- xがすべての実数を動く場合の最大値・最小値を追加
- 頂点が定義域内・範囲外の場合を分けて例示
- 下に開く二次関数の最大値・最小値の例題を追加
- 両端を含む範囲で「端点＋範囲内の頂点」を確認する考え方を整理
- 端点を含まない範囲では最大値・最小値が存在しない場合があることを追記
- 悪もこあい先生による間違いやすい考え方を追加
- 練習問題・戻り道・保存用チェックを追加
- 高校数学⑤「二次関数のグラフ」への接続を整理
今後も、数学的な誤りや分かりにくい説明が見つかった場合は、必要に応じて修正・追記します。
参考文献・確認資料
この記事は、高校数学Ⅰの「二次関数」を初めて学ぶ人向けに、平方完成・頂点・軸・最大値・最小値の基本的な考え方を整理したものです。
説明には、理解しやすくするための独自の表現や整理を含みます。
学校で学習する際は、使用している教科書・授業ノート・学校配布プリントもあわせて確認してください。
- 文部科学省『高等学校学習指導要領（平成30年告示）』
- 文部科学省『高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編』
- 文部科学省「平成29・30・31年改訂学習指導要領（本文、解説）」
- 使用中の高等学校数学Ⅰ教科書・授業ノート・学校配布プリント
