〖数学シリーズ⑦〗二次関数の最大・最小がわからない人へ｜文字を含む範囲と場合分けの考え方

二次関数の最大・最小は、数字だけの範囲なら何とか解ける。

でも、0≦x≦a のように文字を含む範囲が出てきた瞬間に、急に手が止まることがあります。

• 「なぜ a=1 で分けるの？」
• 「頂点を見るの？ 端点を見るの？」
• 「最大値と最小値で、場合分けの境目が違うの？」
• 「そもそも、どこから場合分けを思いつけばいいの？」

このあたりで迷うのは、場合分けの数字を覚えていないからではありません。

頂点・端点・範囲が、aの値によってどう変わるのかが、まだ一つにつながっていないことが原因かもしれません。

この記事では、文字を含む範囲で二次関数の最大値・最小値を考えるときに、どこを見て、なぜそこで場合分けするのかを順番に整理します。

もこあい先生より

「場合分け」と聞くと、急に難しくなったように感じるかもしれません。

でも、最初から何通りにも分けようとしなくて大丈夫です。

まず見るのは、頂点・端点・範囲の3つ。

文字 a が動いたときに、「何が変わるのか」を一緒に見つけていきましょう。

この記事のゴール

• 文字を含む範囲で、何が難しくなるのか分かる
• 頂点が範囲に入るかを判断できる
• 場合分けの境目を「暗記」ではなく自分で見つけられる
• 最大値と最小値で見る場所の違いを整理できる
• なぜ最小値では a=1、最大値では a=2 が境目になるのか説明できる
• 分からなくなったときに、どこまで戻ればよいか分かる

この記事の攻略マップ

1. 最大値・最小値の基本として、頂点と端点を確認する
2. 0≦x≦a で、aが何を動かしているのかを見る
3. 1つの例題で最小値と最大値を考える
4. 「境目＝状況が変わる瞬間」という考え方を理解する
5. よくある誤答で、自分の考え方を点検する
6. 数字を変えた確認問題で、自力で境目を見つける
7. 最後に、戻り道と保存用チェックで整理する

注意：この記事では、高校数学の二次関数について、基本的な考え方を中心に説明します。学校や問題集によって、記号の書き方や場合分けのまとめ方が異なることがあります。

また、AIを使って数学を確認するときは、出てきた答えをそのまま使わず、代入・比較・グラフの位置関係でも確かめてください。

この記事が難しく感じたら｜先に確認したい記事

この記事は、二次関数の中でも文字を含む範囲と場合分けを扱います。

途中で「そもそも頂点が分からない」「グラフが思い浮かばない」と感じたら、無理に先へ進まなくても大丈夫です。

不安なところ	先に読む記事	確認すること
平方完成・頂点・軸が不安	高校数学④｜二次関数がわからない人へ	平方完成して頂点を読む
グラフの形が浮かばない	高校数学⑤｜二次関数のグラフ	頂点・軸・開く向きを見る
数字の変域が不安	高校数学⑥｜二次関数の変域	頂点と端点からyの範囲を読む
文字が入ると場合分けできない	この記事	状況が変わる境目を見つける

数学シリーズ⑥と⑦の違い｜固定された範囲から文字を含む範囲へ

数学シリーズ⑥では、たとえば、

-1≦x≦3

のように、数字で決まった範囲からyの範囲を考えました。

今回の⑦では、

0≦x≦a

のように、範囲そのものに文字が入ります。

	数学シリーズ⑥	数学シリーズ⑦
範囲	数字で固定	文字によって変わる
見るもの	頂点・端点	頂点・端点＋それらの位置関係の変化
大切なこと	yの範囲を読む	状況が変わるところで場合分けする

⑥で学んだ「頂点と端点を見る」という考え方を、⑦では文字を含む範囲へ広げていきます。

まず復習｜最大値・最小値は「頂点」と「端点」で考える

二次関数の最大値・最小値を考えるとき、最初に確認したいのは次の2つです。

• 頂点：放物線の一番低いところ、または一番高いところ
• 端点：指定されたxの範囲の左端と右端

たとえば、上に開く二次関数では、頂点が一番低い場所です。

そのため最小値では、まず頂点が定義域に入っているかを確認します。

一方、上に開く放物線を閉じた区間で考える場合、最大値は左右どちらかの端点でとります。

そのため、最大値では左右の端点のyの値を比べます。

グラフ	最小値で見ること	最大値で見ること
上に開く	頂点が範囲に入るか	左右の端点のどちらが高いか
下に開く	左右の端点のどちらが低いか	頂点が範囲に入るか

「最大値なら端点」「最小値なら頂点」だけで暗記しないことにも注意してください。

まず、放物線が上に開くのか、下に開くのかを見ることが先です。

文字を含む範囲とは？｜0≦x≦a が難しく感じる理由

ここから今回の中心になる、

0≦x≦a

を見ていきます。

数字だけなら、たとえば、

0≦x≦3

なので、右端は3と決まっています。

ところが、0≦x≦a では右端がaです。

• a=0.5なら、0≦x≦0.5
• a=1なら、0≦x≦1
• a=2なら、0≦x≦2
• a=3なら、0≦x≦3

つまり、aが動くと、定義域の右端も動きます。

その結果、最初は範囲の外にあった頂点が途中から範囲に入ったり、左右の端点の高さの関係が変わったりします。

aがあるから場合分けするのではありません。

aによって、最大値・最小値を決める状況が変わるから場合分けするのです。

基本例題｜この1問で考え方をつかもう

この記事では、問題をたくさん並べるのではなく、まず次の1問を深く見ます。

関数 y=(x-1)²+2 について、0≦x≦a、a>0 のときの最小値と最大値を考えます。

この式から、次のことが分かります。

• 頂点：(1, 2)
• 軸：x=1
• 上に開く
• 定義域：0≦x≦a

ここで、放物線そのものは動いていません。

動いているのは、定義域の右端aです。

例題1｜最小値は「頂点が範囲に入るか」を見る

まず最小値を考えます。

y=(x-1)²+2 は上に開く放物線なので、グラフ全体では頂点 (1,2) が最も低い場所です。

ただし、今回使えるxは、

0≦x≦a

だけです。

そのため、頂点x=1がその範囲に入っているかを確認します。

0<a<1 のとき

定義域は0からaまでなので、x=1まで届きません。

この区間では、xが1に近づくほどyは小さくなるため、最も右側の、

x=a

で最小になります。

したがって、

最小値：(a-1)²+2

です。

a≧1 のとき

今度は頂点x=1が定義域に入ります。

したがって、

x=1 のとき、最小値は2

です。

aの範囲	頂点x=1	最小値をとるx	最小値
0<a<1	入らない	x=a	(a-1)2+2
a≧1	入る	x=1	2

つまり、最小値で大切なのは、

「a=1を覚える」ことではなく、「頂点が範囲に入る瞬間を見つける」ことです。

例題2｜最大値は左右の端点を比べる

次に最大値を考えます。

今回の放物線は上に開いています。

したがって、区間 0≦x≦a における最大値は、左右どちらかの端点でとります。

端点は、

• 左端：x=0
• 右端：x=a

です。

それぞれのyの値を求めます。

x=0 のとき、

y=(0-1)²+2=3

x=a のとき、

y=(a-1)²+2

となります。

最大値を決めるには、

3 と (a-1)²+2 のどちらが大きいか

を調べます。

左右の高さが同じになる場所を探す

境目では、左右の端点の高さが等しくなります。

(a-1)²+2=3

より、

(a-1)²=1

したがって、

a=0、2

です。

ただし、この問題の条件はa>0です。

a=0では定義域がx=0の一点になる境界です。a>0 の範囲で左右の端点の大小関係が切り替わるのは、

a=2

です。

• 0<a<2：左端x=0の方が高い
• a=2：左右の端点が同じ高さ
• a>2：右端x=aの方が高い

したがって最大値は、

• 0<a≦2 のとき：最大値3
• a>2 のとき：最大値 (a-1)²+2

となります。

最小値はa=1、最大値はa=2｜なぜ境目が違うの？

ここは、この記事で特に大切なところです。

同じ問題なのに、

• 最小値では a=1
• 最大値では a=2

が出てきました。

これは矛盾ではありません。

最小値と最大値で、見ている変化が違うからです。

求めるもの	見ている変化	境目
最小値	頂点x=1が定義域に入るか	a=1
最大値	左右の端点の高さが入れ替わるか	a=2

つまり、最小値と最大値の境目は、同じとは限りません。

場合分けの境目はどう見つける？｜「状況が変わる瞬間」を探そう

文字を含む最大・最小で本当に知りたいのは、

「どこで分けるのかを、自分でどう見つけるか」

ではないでしょうか。

場合分けの境目とは、簡単に言えば、

最大値・最小値を決める状況が変わる瞬間

です。

最小値なら「頂点の出入り」を見る

今回の頂点はx=1です。

aが1より小さい間は、頂点は定義域の外です。

aが1になると、初めて頂点が定義域に入ります。

つまり、

a=1は「頂点が入る・入らない」が切り替わる場所

です。

最大値なら「端点の優劣」を見る

最大値では、左端と右端のどちらが高いかを見ています。

そこで、

y(0)=y(a)

となるところを調べます。

今回なら、その切替点がa=2です。

境目を探すときの順番

1. まずグラフの向きを見る
2. 頂点の位置を確認する
3. 定義域のどこが文字で動くかを見る
4. 最大値・最小値を決める場所が変わるか考える
5. 変わる瞬間を式で確かめる

いきなり「何通りに分ける？」と考える必要はありません。

先に、

「aが動いたら、何が変わる？」

と考えてみてください。

場合分けは、数字を当てる作業ではありません。

グラフの状況が変わる場所を見つけ、その場所を式で確かめる作業です。

よくある間違い｜a=1だけで全部を場合分けしてしまう

ここで、よくある誤答を見てみましょう。

「頂点がx=1だから、a=1で全部場合分けすればいい」

という考え方です。

最小値では正しくても、最大値では使えません。

なぜなら、最小値と最大値で見ているものが違うからです。

• 最小値：頂点が定義域に入るか
• 最大値：左右の端点のどちらが高いか

最大値では、頂点x=1が入るかどうかだけでは決まりません。

今回なら、左右の端点の高さを比較して初めて、a=2という境目が出てきます。

「文字がある＝場合分け」でもない

もう一つ注意したいのが、

「文字aが出たら必ず場合分けする」

という覚え方です。

文字が入っていても、考えている範囲で最大値・最小値をとる場所が変わらなければ、場合分けが必要ないこともあります。

見るべきなのは文字があるかどうかではありません。

文字が動いたとき、答えを決める状況が変わるかです。

よくあるミス｜場合分けで止まりやすいポイント

よくあるミス	なぜ危ない？	直し方
aがあるから何となく場合分けする	境目の意味が分からない	何が変わるのかを見る
a=1を暗記する	数字が変わると使えない	頂点が範囲に入る瞬間を探す
最大値も最小値も頂点だけ見る	端点比較を落とす	グラフの向きから候補を決める
端点に代入しない	左右の大小を判断できない	両方のyを求める
頂点が範囲外でも頂点の値を書く	今回使えないxを使っている	定義域を先に確認する
最小値と最大値を同じ境目で分ける	見ている変化が違う可能性がある	それぞれ何を比較しているか確認する

確認問題｜境目を自分で見つけてみよう

ここまでの考え方が使えるか、数字を変えて確認します。

関数 y=(x-2)²+1 について、0≦x≦a、a>0 とします。

次の2つを考えてみてください。

1. 最小値の場合分けの境目となるaは？
2. 最大値の場合分けの境目となるaは？

すぐ答えを見る前に、

• 最小値 → 頂点が範囲に入る瞬間
• 最大値 → 左右の端点の高さが等しくなる瞬間

を確認してみましょう。

確認問題の答え｜最小値

y=(x-2)²+1 の頂点は、

(2,1)

です。

頂点x=2が定義域0≦x≦aに初めて入るのは、

a=2

です。

したがって、最小値の場合分けの境目はa=2です。

確認問題の答え｜最大値

左端x=0では、

y=(0-2)²+1=5

です。

右端x=aでは、

y=(a-2)²+1

です。

左右の端点が同じ高さになるところを調べます。

(a-2)²+1=5

(a-2)²=4

より、

a=0、4

です。

ただし、条件はa>0です。

a=0は定義域がx=0の一点になる境界なので、a>0 の範囲で左右の端点の大小関係が切り替わるのは、

a=4

です。

したがって、最大値の場合分けの境目はa=4です。

	境目	理由
最小値	a=2	頂点x=2が定義域に入る
最大値	a=4	左右の端点の高さが等しくなる

数字が変わっても、見る順番は同じです。

境目の数字を覚えるのではなく、その数字で何が変わるのかを見る。

ここまで説明できれば、「場合分けの形を暗記する」段階から一歩進んでいます。

場合分けしたあとの答えはどう書く？

考え方が分かっても、最後の答案のまとめ方で迷うことがあります。

今回の基本例題なら、次のように整理できます。

最小値

• 0<a<1 のとき、x=aで最小値 (a-1)²+2
• a≧1 のとき、x=1で最小値 2

最大値

• 0<a≦2 のとき、最大値 3
• a>2 のとき、x=aで最大値 (a-1)²+2

場合分けを書くときは、境目の「＝」をどちら側に含めるのかにも注意してください。

今回の最大値ではa=2のとき左右の端点がどちらも3になるため、

0<a≦2

とまとめることができます。

グラフは毎回きれいに描かなくていい

文字を含む最大・最小では、場合分けのたびに完璧なグラフを描き直す必要はありません。

今回なら、

• 放物線y=(x-1)²+2は固定
• 頂点(1,2)も固定
• 左端x=0も固定
• 右端x=aだけが動く

と分かれば十分です。

ラフな放物線を1本描き、その上で右端aがどこまで来ているかを書き足して考えてみましょう。

グラフは作品ではなく、位置関係を確認するための道具です。

分かったつもりチェック｜本当に見る場所を区別できている？

• □ 放物線が上に開くか、下に開くか確認した
• □ 頂点のx座標が分かる
• □ 定義域のどこが文字で動くか分かる
• □ 頂点が定義域に入る境目を説明できる
• □ 左右の端点のyの値を比較できる
• □ 最小値と最大値で境目が違うことがあると分かる
• □ 「なぜそこで場合分けするの？」に自分の言葉で答えられる

どこかで引っかかったら、その場所まで戻って確認しましょう。

分からなくなったときの戻り方

場合分けが分からなくなったら、次の順番まで戻ってみてください。

1. 放物線は上に開く？ 下に開く？
2. 頂点はどこ？
3. xの範囲はどこからどこまで？
4. 文字が動かしているのはどこ？
5. 頂点は範囲に入る？
6. 必要なら左右の端点を代入した？
7. 何が変わる瞬間を境目にしている？

それでも分からなければ、シリーズを一つ戻って大丈夫です。

• ④ 平方完成・頂点・軸
• ⑤ グラフを描く
• ⑥ 数字の変域
• ⑦ 文字を含む最大・最小 ← 今ここ

保存用｜二次関数の最大・最小「場合分け7項目チェック」

問題を解くときは、いきなり場合分けを書き始めず、次の順番で確認してみてください。

1. □ 放物線は上に開く？ 下に開く？
2. □ 頂点のx座標はどこ？
3. □ xの範囲の左端と右端はどこ？
4. □ 文字aが動かしているのはどこ？
5. □ 頂点はその範囲に入る？
6. □ 必要な端点のyの値を比べた？
7. □ 境目では「何が変わる」のか説明できる？

場合分けで迷ったら、「頂点・端点・範囲」に戻る。

これを一つの戻り道として使ってください。

AIに聞くときのプロンプト例｜答えではなく「境目の理由」を確認しよう

AIを使って練習するときは、答えだけを聞くよりも、なぜそこで場合分けするのかを確認する使い方がおすすめです。

あなたは高校数学の先生です。

二次関数
y=(x-1)^2+2

0≦x≦a、a>0
について、最大値・最小値を考えます。

答えを先に出さず、次の順番でヒントをください。

1. 頂点はどこか
2. aが動くと定義域のどこが変わるか
3. 最小値では何を見ればよいか
4. 最大値では何を比べればよいか
5. 場合分けの境目では何が変わっているか

最後に、私が考えた場合分けが正しいか確認してください。

AIの説明にも計算ミスや条件の見落としが入る可能性があります。

最後は、代入・端点比較・グラフの位置関係で自分でも確認してください。

今日できる最小行動｜1問で「何が変わる？」だけを見る

この記事を読んだあと、いきなり何問も解く必要はありません。

まず1問だけ選び、次の3つを書いてみてください。

1. 頂点のx座標
2. 定義域の左右の端点
3. 文字が動いたときに変わること

最大値・最小値まで全部求められなくても構いません。

「この値を境に何が変わるのか」を一つ説明できれば、場合分けを見る力は前に進んでいます。

まとめ｜場合分けは「状況が変わる場所」を整理している

文字を含む二次関数の最大値・最小値では、場合分けそのものを暗記しないことが大切です。

• まず放物線が上に開くか、下に開くかを見る
• 頂点と定義域を確認する
• 文字aが定義域のどこを動かしているかを見る
• 頂点が範囲に入る瞬間が、場合分けの境目になることがある
• 左右の端点の高さが入れ替わる瞬間が、境目になることもある
• 最小値と最大値では、境目が同じとは限らない
• 今回の例では、a=1は頂点の出入り、a=2は端点の高さの入れ替わりを表す

つまり、場合分けは突然出てくる特別な計算ではありません。

文字が動いたときに、最大値・最小値を決める状況がどう変わるのかを整理しているだけです。

もこあい先生より

場合分けで迷ったら、答えを急がなくて大丈夫です。

「頂点はどこ？」

「範囲はどこからどこまで？」

「文字が動くと、何が変わる？」

この3つに戻ると、分ける理由が少しずつ見えてきます。

今日の“なんで？”を大切にしよう。正解より、考えた道のりが宝もの。

あわせて読みたい

• 高校数学⑥｜二次関数の変域がわからない人へ
  数字で決まったxの範囲から、頂点と端点を使ってyの範囲を読む基本へ戻れます。
• 高校数学⑤｜二次関数のグラフがわからない人へ
  頂点・軸・開く向きや、式とグラフのつながりを確認できます。
• 高校数学④｜二次関数がわからない人へ
  平方完成から頂点・軸・最大最小を見る基本へ戻れます。

訂正・追記履歴

この記事では、二次関数の最大値・最小値と、文字を含む範囲の考え方について、内容を確認しながら更新しています。

• 2026年5月4日：初稿公開
• 2026年7月19日：内容を更新
• 2026年8月：高校数学シリーズ④〜⑥とのつながりを整理。場合分けの境目の見つけ方、典型的な誤答、確認問題、シリーズの戻り道を追記。最大値の端点に関する説明を明確化。

数学では、条件の書き方や場合分けのまとめ方によって表現が異なることがあります。誤りや分かりにくい表現が見つかった場合は、内容を再確認したうえで訂正・追記します。

参考文献・確認資料

• 文部科学省『高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編』
• 文部科学省『高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編 PDF』