【高校数学⑥】二次関数の変域がわからない人へ｜xの範囲からyの範囲を求める順番

二次関数で「変域」が出てくると、

「何を代入すればいいの？」
「頂点を見るの？　端を見るの？」
「xの範囲は分かるけれど、どうしてyの範囲が決まるの？」

と、急に分からなくなることがあります。

でも、変域の問題でやっていることは、それほど複雑ではありません。

xが動ける範囲だけグラフを切り取り、その部分がどこからどこまでの高さにあるかを見ること。

まずは、このイメージを持ってください。

xの範囲 → グラフの使う部分 → yの範囲

この順番で見ると、「何を調べればよいのか」が整理しやすくなります。

この記事では、xの変域が数字で指定されたときに、対応するyの変域（値域）を求める問題を中心に扱います。

具体的には、

• xの範囲をどう見るか
• 頂点をいつ使うのか
• 左右の端をなぜ調べるのか
• 上に開く場合と下に開く場合
• 「＜」と「≦」で何が変わるのか
• 最大値・最小値が存在しない場合

まで、順番に確認していきます。

文字を含む範囲や本格的な場合分けは、数学シリーズ⑦で扱います。

この記事のゴール｜変域で見る場所が分かればOK

この記事を読み終えたとき、次の6つを自分で確認できれば十分です。

1. xが動ける範囲を確認する
2. 二次関数の頂点を確認する
3. 頂点がxの範囲に入っているか判断する
4. 左右の端や必要な場所のyの値を求める
5. 必要なyの値を比べる
6. yの範囲を不等号で表す

全部を一度に暗記する必要はありません。

まずは問題を見たときに、

「この問題では、グラフのどの部分を見ているのだろう？」

と考えられるようになることを目指しましょう。

二次関数の変域問題とは？｜xの範囲からyの範囲を見る

「変域」とは、変数が取りうる値の範囲のことです。

xにも変域があり、yにも変域があります。

この記事では、xの範囲が指定されたときに、その範囲でyがどこからどこまでの値を取るのかを考えます。

たとえば、次の二次関数を考えてみましょう。

y＝(x－1)²＋2

この関数だけなら、放物線は左右へ続いています。

しかし問題に、

－1≦x≦3

という条件が付いたら、今回はグラフ全体を見る必要はありません。

見るのは、x＝－1からx＝3までの部分です。

つまり、

－1≦x≦3

という条件は、

「この範囲に対応するグラフの部分を見てください」

という指定だと考えられます。

その部分について、

• いちばん低いところはどこか
• いちばん高いところはどこか

を調べれば、yの範囲が分かります。

変域を見る基本の流れ

xが動ける範囲を確認する
↓
その範囲に対応するグラフを見る
↓
いちばん低いところ・高いところを見る
↓
yの範囲を書く

これが、この記事全体の基本です。

「xの範囲」と「yの範囲」を混ぜない

変域で最初につまずきやすいのが、xの範囲とyの範囲を同時に考えてしまうことです。

たとえば、

－1≦x≦3

と書かれていたら、これはxについての条件です。

まだyの範囲ではありません。

この範囲でxを動かした結果として、yがどの範囲を動くのかを調べます。

高校数学では、一般に、

• xが取りうる範囲を「定義域」
• そのときyが取りうる範囲を「値域」

と呼びます。

最初は言葉だけで覚えるより、

xの範囲＝横方向にどこまで動けるか
yの範囲＝その結果、縦方向にどこまで動くか

と考えてもよいでしょう。

変域を見る前に確認する4か所

二次関数の変域では、いきなり数字を代入する必要はありません。

まず、次の4つを確認します。

① xの範囲

どこからどこまでxが動けるのかを確認します。

② 頂点

放物線が折り返す場所がどこにあるかを確認します。

③ グラフの向き

上に開くのか、下に開くのかを確認します。

④ 範囲の端

xの範囲の左側と右側がどこかを確認します。

この4つが分かると、どのyの値を比べればよいのかが見えてきます。

二次関数の変域を求める5ステップ

ここから、実際に問題を解く順番を整理します。

STEP1｜xの範囲を確認する

最初に確認したいのは、xがどこからどこまで動けるのかです。

たとえば、

－1≦x≦3

なら、

• 左側：x＝－1
• 右側：x＝3

です。

グラフ全部ではなく、x＝－1からx＝3までに対応する部分を見ると決めます。

STEP2｜頂点を確認する

次に、二次関数の頂点を確認します。

たとえば、

y＝(x－1)²＋2

なら、頂点は、

(1，2)

です。

一方、

y＝x²－4x＋5

のように頂点がすぐに読めない場合は、平方完成します。

y＝x²－4x＋5
＝(x－2)²＋1

したがって、頂点は、

(2，1)

です。

STEP3｜頂点がxの範囲に入っているか確認する

ここが、変域で特に大切なところです。

たとえば頂点のx座標が1で、

－1≦x≦3

なら、x＝1は範囲内です。

一方、頂点のx座標が3で、

－1≦x≦1

なら、x＝3は範囲に入りません。

この場合、二次関数全体には頂点がありますが、今回使うグラフの部分には頂点がありません。

つまり、

「二次関数だから頂点を必ず答えに使う」わけではありません。

頂点が今回のxの範囲に入っているかどうかを確認する必要があります。

STEP4｜必要な場所のyの値を確認する

両端を含む範囲では、基本的に次の場所を確認します。

• 左の端
• 右の端
• xの範囲内にある頂点

そして、それぞれのyの値を比較します。

大切なのは、頂点だけを見るのでも、端だけを見るのでもないということです。

STEP5｜小さいyから大きいyへ書く

たとえば、最小のyが2、最大のyが6なら、

2≦y≦6

と書きます。

最大値・最小値が分かっても、変域を聞かれているなら、yの範囲まで書きましょう。

例題1｜頂点がxの範囲内にある

次の二次関数のyの範囲を求めます。

y＝(x－1)²＋2

ただし、

－1≦x≦3

とします。

① 頂点を確認する

頂点は、

(1，2)

です。

x＝1は、－1≦x≦3の範囲内です。

また、(x－1)²の前の係数は正なので、グラフは上に開きます。

したがって、今回の範囲では頂点がいちばん低い場所になります。

最小のyは、

2

です。

② 左の端を確認する

x＝－1のとき、

y＝(－1－1)²＋2
＝(－2)²＋2
＝6

③ 右の端を確認する

x＝3のとき、

y＝(3－1)²＋2
＝2²＋2
＝6

したがって、

• 頂点：y＝2
• 左の端：y＝6
• 右の端：y＝6

です。

よって、yの範囲は、

2≦y≦6

となります。

なぜ端だけでは足りないの？

この問題で左右の端だけを見ると、どちらもy＝6です。

しかし、x＝－1からx＝3へ動く途中で、グラフは頂点(1，2)を通っています。

つまり、途中でy＝2まで下がっています。

端と端の間で放物線が折り返している。

これが、二次関数で頂点を確認する理由です。

例題2｜頂点がxの範囲外にある

次は、

y＝(x－3)²＋1

について、

－1≦x≦1

のときのyの範囲を求めます。

頂点は、

(3，1)

です。

しかし、今回xが動けるのは－1から1までです。

頂点のx座標3までは届きません。

つまり、今回見るグラフの部分には頂点がありません。

そこで、左右の端を確認します。

x＝－1のとき、

y＝(－1－3)²＋1
＝16＋1
＝17

x＝1のとき、

y＝(1－3)²＋1
＝4＋1
＝5

したがって、

5≦y≦17

です。

「頂点がある」と「今回その頂点を使える」は違う

この二次関数全体の頂点は(3，1)です。

だからといって、y＝1を今回の変域へ入れてはいけません。

今回のxは1までしか動けないからです。

グラフ全体ではなく、指定された範囲だけを見る。

ここを忘れないようにしましょう。

例題3｜下に開く二次関数

次の二次関数を考えます。

y＝－(x－1)²＋4

ただし、

0≦x≦3

です。

頂点は、

(1，4)

です。

x＝1は範囲内です。

今度は二乗部分の前にマイナスがあるので、グラフは下に開きます。

下に開く放物線では、頂点が最も高い場所です。

したがって、最大のyは4です。

次に左右の端を確認します。

x＝0のとき、

y＝－(0－1)²＋4
＝－1＋4
＝3

x＝3のとき、

y＝－(3－1)²＋4
＝－4＋4
＝0

したがって、

• 頂点：y＝4
• 左の端：y＝3
• 右の端：y＝0

なので、

0≦y≦4

です。

「上に開く＝頂点が最小」と丸暗記しない

上に開く二次関数では、グラフ全体で見れば頂点が最も低い場所です。

下に開く二次関数では、グラフ全体で見れば頂点が最も高い場所です。

ただし、変域の問題では、もう一つ確認する必要があります。

その頂点が、指定されたxの範囲に入っているか。

頂点が範囲外なら、今回の最大値・最小値を決める候補として、その頂点を使うことはできません。

例題4｜平方完成してから変域を求める

実際の問題では、式が最初から頂点の分かりやすい形になっているとは限りません。

次の問題を考えます。

y＝x²－4x＋5

ただし、

0≦x≦5

です。

まず平方完成します。

y＝x²－4x＋5
＝(x－2)²＋1

これで、

• 頂点：(2，1)
• 軸：x＝2
• 上に開く

と分かります。

頂点のx座標2は、0≦x≦5の範囲内です。

したがって、最小のyは1です。

x＝0のとき、

y＝5

x＝5のとき、

y＝25－20＋5
＝10

比較すると、

• 頂点：y＝1
• 左の端：y＝5
• 右の端：y＝10

です。

したがって、

1≦y≦10

となります。

平方完成は「変域そのものを求める計算」ではない

平方完成しただけでは、変域はまだ決まりません。

平方完成する目的は、頂点やグラフの形を読みやすくすることです。

y＝x²－4x＋5
↓
y＝(x－2)²＋1
↓
頂点(2，1)が分かる
↓
頂点がxの範囲内か確認する
↓
必要なyの値を比較する

という流れです。

基本問題で大切なのは「両端＋範囲内の頂点」

ここまでのように、両端を含む数字の範囲なら、確認する候補を次のように整理できます。

• 左の端
• 右の端
• 範囲内にある頂点

頂点が範囲外なら、その頂点は候補から外します。

ただし、これを機械的な公式として覚えるだけでは不十分です。

本当に考えているのは、

「今回使うグラフの部分で、一番高いところと一番低いところはどこか？」

ということです。

「≦」と「＜」では何が違う？

ここまでは、

－1≦x≦3

のように、両端を含む範囲を扱ってきました。

では、

0＜x＜3

のような場合はどうでしょう。

「≦」と「＜」では、端の値を実際に取るかどうかが違います。

• x≦3：x＝3を含む
• x＜3：x＝3を含まない

この違いは、yの範囲や最大値・最小値にも影響します。

例｜端を含まないと最小値が存在しないことがある

次を考えます。

y＝x²

0＜x≦2

xは0にはなれません。

しかし、0に限りなく近づくことはできます。

そのためyも0より大きい値を取りながら、0へ近づいていきます。

一方、x＝2は範囲に含まれるので、

y＝4

は実際に取ります。

したがって、yの範囲は、

0＜y≦4

です。

このとき、

• 最大値：4
• 最小値：存在しない

となります。

yは0にいくらでも近づけますが、実際にy＝0になるx＝0は使えないからです。

xの不等号を、そのままyへコピーしてはいけない

ここは特に注意したいところです。

たとえば、

0＜x＜3

だからといって、yの範囲も必ず、

○＜y＜○

になるわけではありません。

y側で「＜」になるか「≦」になるかは、そのyの値を実際に取るxが、指定された範囲内に存在するかで判断します。

例｜xの端を含まなくても、yの最小値は取れる

次を考えます。

y＝(x－1)²

0＜x＜3

頂点は、

(1，0)

です。

x＝1は0＜x＜3の範囲内なので、y＝0は実際に取ることができます。

一方、xが3へ近づくと、yは4へ近づきます。

しかし、x＝3そのものは範囲に含まれません。

また、この二次関数でy＝4となるもう一つのx＝－1も、今回の範囲外です。

したがって、

0≦y＜4

です。

xの両端が「＜」でも、yの下側は「≦」になっています。

不等号はコピーするのではなく、その値を本当に取るかどうかで判断します。

変域と最大値・最小値は似ているけれど同じではない

変域と最大値・最小値は強く関係しています。

たとえば、

2≦y≦6

なら、

• yの変域：2≦y≦6
• 最小値：2
• 最大値：6

です。

さらに問題によっては、

「最大値をとるときのxの値」

まで聞かれることがあります。

その場合は、最大値だけで終わらず、どのxでその値を取るのかまで確認します。

最後に「問題が何を聞いているか」をもう一度見る。

これも大切です。

よくあるミス①｜左右の端だけ代入する

二次関数では、左右の端だけを確認して終わると、途中にある頂点を見落とすことがあります。

特に、指定された範囲の中で放物線が折り返している場合は注意しましょう。

よくあるミス②｜頂点を必ず使う

二次関数だからといって、頂点を必ず変域へ入れるわけではありません。

確認するのは、

「頂点のx座標が、今回のxの範囲に入っているか」

です。

よくあるミス③｜上に開く・下に開くを逆にする

二次関数が、

y＝a(x－p)²＋q

の形なら、

• a＞0：上に開く
• a＜0：下に開く

です。

ただし、頂点を最大値・最小値として使えるかどうかは、頂点がxの範囲内にあるかまで確認します。

よくあるミス④｜頂点のy座標で「範囲内か」を判断する

頂点が範囲内かどうかを見るときに確認するのは、頂点のx座標です。

たとえば頂点が、

(2，－3)

で、

0≦x≦5

なら、見るのはx＝2が0から5に入っているかどうかです。

y座標の－3を見るわけではありません。

よくあるミス⑤｜xの不等号をyへそのまま移す

x側が「＜」だからといって、y側も必ず「＜」になるとは限りません。

yの境界となる値を実際に取るxがあるかどうかまで確認しましょう。

悪もこあい先生｜「端だけ代入して終わり」で本当にいい？

悪もこあい先生：

「左の端を代入した。右の端も代入した。はい終了――って、二次関数を一次関数みたいに扱うなよ。

放物線は途中で折り返すことがある。

その折り返し地点が今回の範囲に入っているか。

そこを見ないまま変域を決めたら、一番大事な高さを丸ごと落とすぞ。」

変域で迷ったら、

「この範囲の途中でグラフは折り返す？」

と考えてみましょう。

分かったつもりチェック｜答えを見る前に確認しよう

① xはどこからどこまで動く？

範囲の左側と右側を言えますか？

② 頂点はどこ？

必要なら平方完成して、頂点が読める形にできましたか？

③ 頂点のx座標は範囲内？

「頂点がある」だけで終わっていませんか？

④ グラフは上に開く？ 下に開く？

二乗部分の係数の符号を確認しましたか？

⑤ 必要な場所のyを調べた？

両端を含む範囲なら、左右の端と範囲内の頂点を確認しましたか？

⑥ そのyの値を実際に取る？

「＜」と「≦」を機械的に決めていませんか？

練習問題1｜頂点が範囲内

次の二次関数のyの範囲を求めてください。

y＝(x＋2)²－1

－3≦x≦1

解答

頂点は、

(－2，－1)

です。

x＝－2は範囲内です。

上に開くので、y＝－1が最小です。

x＝－3のとき、

y＝(－1)²－1
＝0

x＝1のとき、

y＝3²－1
＝8

したがって、

－1≦y≦8

です。

練習問題2｜頂点が範囲外

y＝－(x－2)²＋5

について、

－1≦x≦0

のときのyの範囲を求めてください。

解答

頂点は、

(2，5)

です。

x＝2は今回の範囲には入りません。

x＝－1のとき、

y＝－(－3)²＋5
＝－9＋5
＝－4

x＝0のとき、

y＝－(－2)²＋5
＝－4＋5
＝1

したがって、

－4≦y≦1

です。

練習問題3｜平方完成が必要

y＝x²＋2x＋3

について、

－2≦x≦2

のときのyの範囲を求めてください。

解答

まず平方完成します。

y＝x²＋2x＋3
＝(x＋1)²＋2

したがって、頂点は、

(－1，2)

です。

x＝－1は範囲内なので、最小のyは2です。

x＝－2のとき、

y＝3

x＝2のとき、

y＝11

したがって、

2≦y≦11

です。

分からなくなったときの戻り道

二次関数の変域で止まったときは、全部を最初からやり直す必要はありません。

止まった場所に合わせて戻りましょう。

平方完成ができない

→ 数学シリーズ④へ戻ります。

確認すること：

• 平方完成
• 頂点
• 軸
• 上に開く・下に開く

【高校数学④】二次関数がわからない人へ｜平方完成・頂点・軸・最大最小の見方

グラフの形が浮かばない

→ 数学シリーズ⑤へ戻ります。

確認すること：

• aの符号
• 頂点
• 軸
• グラフの描き方

数学シリーズ⑤｜二次関数のグラフがわからない人へ

数字の変域は分かるけれど、文字が入ると分からない

→ 数学シリーズ⑦へ進みます。

確認すること：

• 頂点が範囲に入る条件
• 端の高さの比較
• 場合分けの境目

数学シリーズ⑦｜二次関数の最大・最小と場合分け

数学は、前へ進み続けなければいけない一本道ではありません。

分からなくなった場所まで戻って、もう一度つなげれば大丈夫です。

保存用｜二次関数の変域を見る6項目チェック

• □ ① xの範囲を確認した？
• □ ② 頂点を出した？
• □ ③ 頂点のx座標は範囲内？
• □ ④ 上に開く？ 下に開く？
• □ ⑤ 必要なyの値をすべて確認した？
• □ ⑥ 「＜」と「≦」は、その値を実際に取るか確認した？

両端を含む基本問題なら、

「左の端＋右の端＋範囲内の頂点」

を確認します。

ただし、端を含まない問題では、境界の値を実際に取るのかまで確認してください。

迷ったら、この一文に戻りましょう。

「xの範囲でグラフを切り取り、その部分の一番低いところと一番高いところを見る。」

AIに聞くなら｜答えではなく「見る場所」を確認する

AIを使って二次関数を勉強するときも、答えだけを出してもらうより、どこを見ればよいのかを説明してもらう方が、自分で解く練習になります。

たとえば、次のように聞けます。

次の二次関数の変域について、答えをすぐに出さず、私が自分で解けるように一つずつ確認してください。

二次関数：
y＝（ここに式）

xの範囲：
（ここに範囲）

次の順番で質問してください。

1. 頂点はどこか
2. 頂点のx座標は範囲に入っているか
3. 上に開くか下に開くか
4. xの範囲の端を含むか確認し、必要な場所でyがどうなるか
5. どのyの値を比較すればよいか
6. 境界のyの値を実際に取るか

私が間違えた場合は、すぐに答えを言わず、どこを見直せばよいか教えてください。

AIの計算や説明にも誤りが混ざる可能性があります。

最後は、

• 式へ代入する
• 頂点の位置を確認する
• 簡単なグラフを描く

という方法で、自分でも確かめてください。

今日できる最小行動｜答えを最後まで出さなくてもいい

最後に、次の問題を見てください。

y＝(x－2)²－3

0≦x≦4

今日は変域を最後まで求めなくても構いません。

まず次の3つだけ確認してみてください。

1. 頂点はどこ？
2. 頂点はxの範囲に入っている？
3. 左右の端はどこ？

答えは、

• 頂点：(2，－3)
• x＝2は範囲内
• 左の端：x＝0
• 右の端：x＝4

です。

ここまで見られれば、あとは必要な場所の高さを比較します。

x＝0でもx＝4でも、

y＝1

なので、

－3≦y≦1

となります。

次に読むなら｜二次関数を順番につなげよう

二次関数は、一つの記事だけで完結する単元ではありません。

今どこで止まっているかによって、読む記事を選んでみてください。

平方完成・頂点・軸から確認したい

【高校数学④】二次関数がわからない人へ｜平方完成・頂点・軸・最大最小の見方

グラフの描き方から確認したい

数学シリーズ⑤｜二次関数のグラフがわからない人へ

文字を含む範囲・場合分けへ進みたい

数学シリーズ⑦｜二次関数の最大・最小と場合分け

まとめ｜変域は「グラフのどこを見るか」を決める問題

二次関数の変域で大切なのは、計算をたくさんすることではありません。

まず、

指定されたxの範囲では、グラフのどの部分を使うのか

を確認します。

基本の順番は、

1. xの範囲を見る
2. 頂点を確認する
3. 頂点のx座標が範囲内か見る
4. グラフの向きを確認する
5. 必要な場所のyの値を比べる
6. yの範囲を書く

です。

特に覚えておきたいのは、

「頂点があること」と「今回その頂点を使えること」は同じではない

という点です。

そして、不等号も機械的に写してはいけません。

そのyの値を実際に取るのか。

それとも、その値へ近づくだけなのか。

最後にそこまで確認すると、「＜」と「≦」も理解しやすくなります。

変域で迷ったときは、式だけを見続けるのではなく、簡単な放物線を描いてみてください。

xの範囲でグラフを切り取る。
その部分の高さを見る。

変域を見るときの基本は、ここにあります。

もこあい先生より：
「今日の“なんで？”を大切にしよう。正解より、考えた道のりが宝もの。」

訂正・追記履歴

2026年8月8日｜全面リライト

記事全体の構成と数学的な説明を見直しました。

• 「変域」の定義を整理し、xの変域からyの変域を見る記事であることを明確化
• 「xの範囲 → グラフの使う部分 → yの範囲」を記事全体の基本構造として再設計
• 数学シリーズ④・⑤から自然につながる構成へ変更
• 数字で固定された範囲を数学シリーズ⑥、文字を含む場合分けを⑦で扱う役割を明確化
• 二次関数の変域を求める5ステップを追加
• 頂点がxの範囲内・範囲外の場合を分けて説明
• 上に開く場合・下に開く場合を整理
• 平方完成してから変域を求める例題を再構成
• 両端を含む基本問題では「左右の端＋範囲内の頂点」を確認する考え方を追加
• 「＜」と「≦」の違いを詳しく追記
• 端を含まない場合、最大値・最小値が存在しないことがある点を追記
• xの不等号をそのままyへ移してはいけないことを具体例で説明
• よくあるミスを5種類に整理
• 悪もこあい先生の確認コーナーを追加
• 練習問題と解答・確認過程を追加
• 分からなくなったときの戻り道を追加
• 保存用「二次関数の変域を見る6項目チェック」を追加
• AIを答え合わせだけでなく思考確認へ使うプロンプトへ変更
• 数学シリーズ④・⑤・⑦への内部リンク導線を整理

今後も、数学的な誤りや分かりにくい説明が見つかった場合は、必要に応じて修正・追記します。

参考文献・確認資料

この記事は、高校数学Ⅰの二次関数について、変域・定義域・値域・頂点・最大値・最小値の基本的な考え方を、初めて学ぶ人向けに整理したものです。

理解しやすくするため、「グラフを切り取る」「高さを見る」などの説明表現を使用しています。

学校で学習する際は、使用している教科書・授業ノート・学校配布プリントもあわせて確認してください。

• 文部科学省『高等学校学習指導要領（平成30年告示）』
• 文部科学省『高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編』
• 文部科学省「平成29・30・31年改訂学習指導要領（本文、解説）」
• 使用中の高等学校数学Ⅰ教科書・授業ノート・学校配布プリント