【数学シリーズ⑥】📈 二次関数の変域がわからない人へ｜xの範囲からyの範囲を読むコツ
二次関数で「変域」が出てくると、急に手が止まることがあります。
式は分かる。グラフもなんとなく見える。けれど、
- xの範囲をどう使えばいいのか分からない
- yの範囲をどうやって決めるのか分からない
- 頂点を見るのか、端点を見るのか迷う
- 不等号で答えるときに向きが不安になる
そんな人は、変域を「計算だけの問題」と考えすぎているかもしれません。
二次関数の変域は、xが動ける範囲を見て、その中でyがどこからどこまで動くかを読む問題です。
この記事では、二次関数の変域を、xの範囲 → 頂点 → 端点 → yの範囲の順番で整理していきます。
この記事のゴール
- 変域で出てくる言葉を整理できる
- xの範囲とyの範囲を分けて考えられる
- 頂点が範囲内にあるか確認できる
- 端点と頂点のyの値を比べられる
- yの範囲を不等号で書ける
この記事で扱うこと
- xの範囲から、yの範囲を読む基本
- 頂点が範囲内にある場合・範囲外にある場合
- 上に開く場合・下に開く場合
- 端点と頂点のyの値を比べる考え方
この記事では深く扱わないこと
- 文字を含む範囲の変域
- 場合分けが必要な最大・最小
- 入試応用レベルの変域問題
これらは、次の数学シリーズ⑦で扱う予定です。
✅ クリックして開く：この記事の使い方
この記事は、二次関数の変域をはじめて整理したい人向けです。
すでに平方完成や頂点の読み取りが不安な人は、先に数学シリーズ④・⑤を確認すると進みやすくなります。
この記事では、難しい応用問題よりも、「変域の基本の読み方」に集中します。
二次関数の変域とは？まずxの範囲とyの範囲を分けよう
まず大事なのは、xの範囲とyの範囲を混ぜないことです。
たとえば、次のような問題を考えます。
例
二次関数 y = (x – 1)2 + 2 について、-1 ≦ x ≦ 3 のときの y の範囲を求めなさい。
このとき、-1 ≦ x ≦ 3 は、xが動ける範囲です。
でも、聞かれているのは「そのとき y はどこからどこまで動くのか」です。
つまり、変域の問題では、次のように考えます。
変域の見方
xが動ける範囲を見る
↓
その範囲の中でグラフがどこまで上下するかを見る
↓
yの範囲を書く
式だけを見つめるより、グラフの上をxが動いていくイメージを持つと、かなり分かりやすくなります。
ミニ辞書｜変域でよく出る言葉を先に確認しよう
二次関数の変域では、言葉が混ざると一気に分かりにくくなります。まずは、よく出る言葉を短く確認しておきましょう。
| 用語 | 意味 |
|---|---|
| 変域 | 変数が動ける範囲のこと。この記事では、xの範囲とyの範囲を分けて考えます。 |
| xの範囲 | xがどこからどこまで動けるかを示したもの。 |
| yの範囲 | xが動いたとき、yがどこからどこまで動くかを示したもの。 |
| 頂点 | 二次関数のグラフで折り返す中心の点。 |
| 軸 | グラフの左右の対称の中心になる直線。頂点を通ります。 |
| 端点 | xの範囲のはしっこ。たとえば 0≦x≦3 なら、x=0 と x=3。 |
| 最大値・最小値 | その範囲の中で、yがいちばん大きい値・小さい値。 |
※高校数学では、xの範囲を「定義域」、yの範囲を「値域」と呼ぶこともあります。この記事では分かりやすさを優先して、「xの範囲」「yの範囲」と書きます。
もこあい先生のポイント
変域で迷ったら、まず「xの範囲」と「yの範囲」を分けて考えましょう。xが動ける場所を見てから、その中でyがどこまで上下するかを読みます。
変域で大事なのは「端点」と「頂点」
二次関数の変域で見る場所は、基本的に端点と頂点です。
なぜなら、二次関数のグラフは、頂点で折り返すからです。
上に開くグラフなら、頂点がいちばん低い場所になります。下に開くグラフなら、頂点がいちばん高い場所になります。
ただし、頂点がいつもxの範囲の中にあるとは限りません。
だから、次の順番で確認します。
変域を見る順番
- xの範囲を確認する
- 頂点のx座標が、その範囲に入っているか見る
- 端点のyの値を計算する
- 必要なら頂点のyの値も見る
- いちばん小さいyと、いちばん大きいyを不等号で書く
変域は、端点だけでも、頂点だけでも決まりません。
大切なのは、xの範囲の中で、グラフのどの部分を通るのかを見ることです。
手順1｜xの範囲を確認する
変域の問題で最初に見るのは、式ではなくxの範囲です。
たとえば、
-1 ≦ x ≦ 3
と書かれていたら、xは -1 から 3 まで動けるという意味です。
グラフで考えるなら、x軸の -1 から 3 までの部分だけを見るイメージです。
ここを見ないまま式だけ計算すると、「どこまでグラフを見ればいいのか」が分からなくなります。
手順2｜頂点が範囲の中にあるか見る
次に、頂点がxの範囲の中に入っているかを見ます。
たとえば、
y = (x – 1)2 + 2
なら、頂点は (1, 2) です。
xの範囲が -1 ≦ x ≦ 3 なら、頂点のx座標である x = 1 は範囲の中に入っています。
確認
-1 ≦ 1 ≦ 3 なので、頂点は範囲内にあります。
頂点が範囲内にあるときは、頂点のyの値が最大値または最小値の候補になります。
手順3｜端点と頂点のyの値を比べる
頂点が範囲内にあるか確認したら、次はyの値を比べます。
見る候補は、基本的に次の場所です。
- 左の端点
- 右の端点
- 範囲内にある頂点
この候補の中で、yがいちばん小さいところと、いちばん大きいところを探します。
| 見るところ | 確認すること |
|---|---|
| xの範囲 | どこからどこまで動けるか |
| 頂点 | その範囲の中に入っているか |
| 端点 | 範囲の両端のyの値はいくつか |
| aの符号 | 上に開くか、下に開くか |
| yの範囲 | 最小値から最大値までを不等号で書く |
例題1｜頂点が範囲内にある場合
例題1
二次関数 y = (x – 1)2 + 2 について、-1 ≦ x ≦ 3 のときの y の範囲を求めなさい。
まず、頂点を確認します。
y = (x – 1)2 + 2 なので、頂点は (1, 2) です。
xの範囲は -1 ≦ x ≦ 3 なので、頂点のx座標 1 は範囲の中にあります。
頂点の確認
-1 ≦ 1 ≦ 3
だから、頂点は範囲内。
上に開くグラフなので、頂点がいちばん低い場所です。
つまり、最小値は頂点のy座標である 2 です。
次に、端点のyの値を計算します。
x = -1 のとき
y = (-1 – 1)2 + 2
= (-2)2 + 2
= 4 + 2
= 6
x = 3 のとき
y = (3 – 1)2 + 2
= 22 + 2
= 4 + 2
= 6
最小値は 2、最大値は 6 です。
したがって、yの範囲は、
2 ≦ y ≦ 6
となります。
例題2｜頂点が範囲外にある場合
例題2
二次関数 y = (x – 3)2 + 1 について、-1 ≦ x ≦ 1 のときの y の範囲を求めなさい。
まず、頂点を確認します。
y = (x – 3)2 + 1 なので、頂点は (3, 1) です。
でも、xの範囲は -1 ≦ x ≦ 1 です。
頂点のx座標 3 は、この範囲の中にありません。
頂点の確認
-1 ≦ x ≦ 1 の中に、x = 3 は入っていません。
だから、頂点は範囲外です。
この場合、範囲の中では端点を見てyの値を比べます。
x = -1 のとき
y = (-1 – 3)2 + 1
= (-4)2 + 1
= 16 + 1
= 17
x = 1 のとき
y = (1 – 3)2 + 1
= (-2)2 + 1
= 4 + 1
= 5
この範囲では、yは 5 から 17 まで動きます。
5 ≦ y ≦ 17
ここで大事なのは、頂点が範囲外なら、頂点のy座標をそのまま答えに入れないことです。
頂点はグラフ全体では大事ですが、xがそこまで動けないなら、今回の範囲には関係しません。
例題3｜下に開くグラフの場合
例題3
二次関数 y = -(x – 1)2 + 4 について、0 ≦ x ≦ 3 のときの y の範囲を求めなさい。
今度は、前にマイナスがついています。
y = -(x – 1)2 + 4 なので、グラフは下に開きます。
頂点は (1, 4) です。
xの範囲は 0 ≦ x ≦ 3 なので、頂点のx座標 1 は範囲の中にあります。
頂点の確認
0 ≦ 1 ≦ 3
だから、頂点は範囲内。
下に開くグラフでは、頂点がいちばん高い場所になります。
つまり、最大値は頂点のy座標である 4 です。
次に、端点のyの値を計算します。
x = 0 のとき
y = -(0 – 1)2 + 4
= -1 + 4
= 3
x = 3 のとき
y = -(3 – 1)2 + 4
= -4 + 4
= 0
最小値は 0、最大値は 4 です。
したがって、yの範囲は、
0 ≦ y ≦ 4
下に開くと、頂点が「最大値」になります。上に開く場合と逆になるので、ここは注意しましょう。
よくあるミス｜端点だけ見てしまう
変域で多いミスは、端点だけ代入して終わってしまうことです。
たしかに、端点は大事です。
でも、頂点がxの範囲の中にある場合、yの最大値や最小値は頂点で起こることがあります。
たとえば例題1では、端点だけを見ると、どちらも y = 6 です。
でも、頂点では y = 2 になります。
だから、yの範囲は y = 6 だけではなく、
2 ≦ y ≦ 6
になります。
悪もこあい先生：
「端点だけ見て安心するな。二次関数は途中で折り返すんだよ。頂点を見ないと、変域は平気で外すぞ。」
スクショ保存用｜二次関数の変域チェック表
変域の問題を解いたあと、最後にこの順番で確認しましょう。
二次関数の変域チェック
- xの範囲：どこからどこまで動ける？
- 頂点：頂点のx座標は範囲内？範囲外？
- aの符号：上に開く？下に開く？
- 端点：左端と右端のyの値を出した？
- 比較：頂点と端点のyの値を比べた？
- 答え：小さいyから大きいyへ、不等号で書いた？
特に大事なのは、頂点が範囲内にあるかです。
ここを見落とすと、yの範囲が大きくずれやすくなります。
AIに聞くときのプロンプト例
二次関数の変域で迷ったときは、AIに「答えだけ」を聞くより、考える順番を確認するのがおすすめです。
コピペOKプロンプト
次の二次関数について、xの範囲からyの範囲を求める手順を教えてください。
式：
y = （ここに式を書く）
xの範囲：
（ここにxの範囲を書く）
条件：
・答えだけでなく、見る順番を説明してください
・頂点が範囲内にあるか確認してください
・端点のyの値も計算してください
・最後に、なぜそのyの範囲になるのかを中学生〜高校生向けに説明してくださいAIの説明は便利ですが、計算ミスや条件の読み違いが混ざることもあります。出てきた答えは、必ず自分でも代入して確認しましょう。
次に読むなら｜二次関数を順番につなげよう
変域は、平方完成・頂点・グラフの動きとつながっています。分からない場所に合わせて、次の記事へ進んでみてください。
| 今の状態 | 次に読む記事 | 読む目的 |
|---|---|---|
| 平方完成や頂点の読み取りが不安 | 【数学シリーズ④】二次関数が苦手な人へ｜平方完成・頂点・最大最小をやさしく整理 |
二次関数を「読める形」に直す |
| a・p・q の動きが分からない | 【数学シリーズ⑤】二次関数のグラフがわからない人へ｜a・p・q は何を動かしている？ |
頂点の形からグラフの動きを読む |
| 文字を含む範囲や場合分けまで進みたい | 数学シリーズ⑦（作成予定） | 変域・最大最小の応用や場合分けを練習する |
まとめ｜変域は「xの動き」から「yの高さ」を読む問題
二次関数の変域は、式だけをにらむ問題ではありません。
大切なのは、xがどこからどこまで動けるかを見て、その中でyがどこからどこまで動くかを読むことです。
そのために見る場所は、基本的に端点と頂点です。
- xの範囲を見る
- 頂点が範囲内か確認する
- 端点のyの値を計算する
- 必要なら頂点のyの値も比べる
- 小さいyから大きいyへ不等号で書く
変域で迷ったときは、いきなり答えを出そうとせず、まずグラフのどこを見ているのかを確認しましょう。
端点だけでも、頂点だけでもなく、xの範囲の中でグラフがどう動くかを見る。
それが、二次関数の変域を読むコツです。
もこあい先生より：
「今日の“なんで？”を大切にしよう。正解より、考えた道のりが宝もの。」
訂正と追記
この記事では、高校数学Ⅰの二次関数について、変域の基本的な読み方をできるだけ分かりやすく整理しています。
ただし、計算例・符号・条件の読み取りには、説明の不足や誤りが残る可能性があります。学校で使う場合は、教科書・授業ノート・先生の解法もあわせて確認してください。
記事内容に誤りや分かりにくい点が見つかった場合は、必要に応じて追記・修正します。
参考文献・出典（クリックして開く）
※この記事は、高校数学Ⅰの二次関数を学ぶ読者向けに、変域・頂点・端点・最大最小の考え方を分かりやすく整理したものです。説明には筆者独自のたとえや整理を含みます。学校で学ぶ際は、教科書・授業ノート・先生の解法もあわせて確認してください。
- 文部科学省『高等学校学習指導要領（平成30年告示）』数学Ⅰ
- 文部科学省『高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編』
- 使用中の高等学校数学Ⅰ教科書・授業ノート・学校配布プリント
