【高校数学①】多項式の展開・整理 入門（完全版）：中学の続きから一気にわかる！
こんにちは、もこあい先生です😊 高校数学の最初の壁、多項式の展開・整理をゼロから丁寧に攻略します。中学の「文字式」を使いこなせた人なら大丈夫！まずはルールを固めて、例題→実践→チャレンジの順で上達しよう。途中には悪もこあい先生の意地悪ポイント、最後にはラストBOSSも用意したよ。クリックで答えが開くから、自分の手を動かしてね！
【中学】文字式の世界へようこそ
1. まずは基礎：展開と整理のコア原理
① 分配法則（展開のエンジン）
k(A+B) = kA + kB、(A+B)(C+D) = AC + AD + BC + BD例：
(x+2)(x+3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6② 同類項はまとめる（整理）
3x^2 + 5x - 2x + 6 → 3x^2 + 3x + 6③ 指数の扱い
x·x^2 = x^3／a^2·a^3 = a^5もこあい先生： ちがーう！中項
2ab を忘れないで：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2。2. 公式で時短：暗記＋理解で無敵
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2差の平方：
(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2和と差：
(a+b)(a-b) = a^2 - b^2なぜこうなる？（クリックで確認）
分配法則で機械的に展開すれば導ける。(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2。
3. 例題でウォームアップ（クリックで答え）
例題1：(x+4)(x+1)
x^2 + x + 4x + 4 = x^2 + 5x + 4
例題2：(2a-3)(a+5)
2a^2 + 10a – 3a – 15 = 2a^2 + 7a – 15
例題3：(a+b)^2 + (a-b)^2
(a^2+2ab+b^2) + (a^2-2ab+b^2) = 2a^2 + 2b^2
例題4：(x-2)(x+2)(x+3)
まず (x-2)(x+2)=x^2-4。次に (x^2-4)(x+3)=x^3+3x^2-4x-12。答：x^3 + 3x^2 – 4x – 12
4. 3項以上の展開は「二つずつ」
例えば (x+1)(x+2)(x-3) は、まず二つ掛けてから最後にもう一度。
(x+1)(x+2) = x^2 + 3x + 2- それを
(x-3)にかける →(x^2 + 3x + 2)(x-3) - 分配して整理、符号に注意！
もこあい先生： 3つ以上は二つずつが鉄則！計算ミスを減らそう。
5. 実践：キャラで学ぶ文章題 → 展開・整理
（1）健太のセット割
映画セット1つを (p+2q) 円とする。健太はこのセットを x 個、さらに割引券で全体から r 円引きになった。支払額を整理せよ。
答えを見る
合計：x(p+2q) - r = xp + 2xq - r
ノート1冊
a 円、ペン1本 b 円、ファイル1冊 c 円。恵子は「ノートとペンのセット
(a+b)」を m 個、さらにファイルを各セットごとに1冊つけた。合計金額を整理。
答えを見る
1セット：a+b+c。m個で m(a+b+c) = ma + mb + mc
（3）悪もこあいの二段割引
価格 P 円の商品に、まず x% の割引、その後さらに y% の割引。支払額の式を展開・整理せよ（%は100分率）。
答えを見る
まず P(1 - x/100)、さらに (1 - y/100) をかける：
P(1 - x/100)(1 - y/100) = P(1 - x/100 - y/100 + xy/10000)
6. もっと練習！（基礎 → 応用 → ラストBOSS）
レベル1：基礎の展開
(1) (x+5)(x+2)
x^2 + 7x + 10
(2) (2a+b)(a-3b)
2a^2 – 5ab – 3b^2
(3) (m-n)^2
m^2 – 2mn + n^2
レベル2：整理まで丁寧に
(4) (x-3)(x+4) + 2(x-1)
(x^2 + x -12) + (2x -2) = x^2 + 3x – 14
(5) (a+2)^2 + (a-1)(a+1)
(a^2+4a+4) + (a^2-1) = 2a^2 + 4a + 3
(6) (2x-1)(x-5) – (x+2)(x-2)
(2x^2 -10x – x +5) – (x^2 -4) = x^2 – 11x + 9
レベル3：3項以上・工夫問題
(7) (x+1)(x+2)(x-3)
先に(x+1)(x+2)=x^2+3x+2。掛けて x^3 – 0x^2 – 7x – 6（= x^3 – 7x – 6）
(8) (a+b)^2 – (a-b)^2
(a^2+2ab+b^2) – (a^2-2ab+b^2) = 4ab
(9) (x^2+2x+1) – (x-1)^2
(x+1)^2 – (x^2 – 2x +1) = 4x
ラストBOSS🔥（ていねいにやれば勝てる）
(10) (2x+3)(x-4)(x+5) を展開・整理
まず (x-4)(x+5)=x^2 + x – 20。次に 2x+3 を掛ける：
(2x+3)(x^2 + x – 20) = 2x^3 + 2x^2 – 40x + 3x^2 + 3x – 60 = 2x^3 + 5x^2 – 37x – 60
符号と同類項のまとめ順に注意！
6.5 図解：分配法則の見える化（(a+b)(c+d)）
ポイント：横（a+b）と縦（c+d）で分けると4つの小長方形 ac, ad, bc, bd に“分配”されます。合計すると (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd。
(x+2)(x+3) も同様。x×x, x×3, 2×x, 2×3 の4つに分けて合計 ⇒ x² + 5x + 66.6 AIで理解を深める：プロンプト集（コピペOK）
AIは「答えを丸ごと聞く」より、自分の解答をチェックさせる使い方が学習効率◎。目的に合わせて、下の表とプロンプトを使ってください。
| 目的 | やってもらう内容 | 入力例（要約） | 出力の型 | チェックポイント |
|---|---|---|---|---|
| ① 基礎問題を作る | 展開・整理の練習問題を10問、易→難で作成。答えは別欄。 | 2項×2項／整理込み／3項以上 | 番号付き問題 → 最後に模範解答 | 同型反復を避ける／符号ミスが出やすい設問も混ぜる |
| ② 自分の解答を採点 | 誤り箇所だけ指摘し、正しい途中式を最短で提示。 | 問題：(x+4)(x+1)…解答：x^2+4x+1 | ✗/✓ → 間違いの理由 → 正解までの途中式 | 「どこで符号を誤ったか」を説明させる |
| ③ 途中式の添削 | 段階ごとに評価し、次の1手だけ提示（答えは出さない）。 | 途中式：x^2+3x+2 まで | 現時点の評価 → 次の1手 → 注意点 | 一気に答えを出させない |
| ④ 文章題→式化チェック | 文章から式に直し、展開後に整理まで。 | P円→x%引き→y%引き… | 式の確認 → 展開 → 整理 → 単位の説明 | 係数・単位の整合性を理由つきで |
| ⑤ 公式の理由確認 | (a+b)^2 等を分配法則から導出。図解の言葉説明も。 | (a+b)^2 の理由を小問分割で | 分配 → 同類項まとめ → 結論 | 「言い換え」も要求して多面的理解 |
| ⑥ ラストBOSSの分解 | 長い式を「二つずつ」で分解し、各段のチェック項目を提示。 | (2x+3)(x-4)(x+5) | 手順リスト → 誤りやすい点 | 自分の途中式と照合して赤入れ |
コピペ用プロンプト（最小セット）
【出力ルール】1)途中式を1行ずつ、2)誤りは理由つきで指摘、3)最後に要点を3行で要約。
【課題】私の解答を採点して下さい。
問題：(x+4)(x+1)
私の解答：x^2 + 4x + 1
【指示】展開・整理の練習問題を10問作成。レベル1→3に段階化。答えは最後にまとめる。
【条件】同型の繰り返しを避け、符号ミスが起きやすい設問も混ぜる。
【指示】以下の途中式の「次の1手」だけを示しなさい。答えは出さない。
途中式： (x+1)(x+2) = x^2 + 3x + 2 まで書いた
① まず自分で最後まで解く → ② 「採点プロンプト」で誤り箇所のみ指摘 → ③ 弱点が出たら「問題作成」で同タイプを追加練習。
「途中式を1行ずつ・根拠を示して」と指示し、自分でも分配・同類項・符号を確認しましょう。
7. まとめ：展開＝広げる、整理＝まとめる
- 分配法則が展開の心臓。二つずつ掛けるとミスが減る。
- 同類項は最後にしっかりまとめる。指数と符号を丁寧に。
- 公式は暗記＋理由理解のセットで定着！
※ このページに戻って復習しながら進むのもOK！
【中学】文字式の世界へようこそ
