【中学数学④】比例・反比例がわからない人へ｜式・表・グラフをつなげる順番

「比例と反比例って、式が似ていてごちゃごちゃする」

「表まではなんとなくわかるけれど、式になると止まる」

「式はわかっても、グラフになると急に別の問題に見える」

比例・反比例で、そんなふうに感じている人もいると思います。

でも、この単元で見ているものは、ずっと同じです。

「xとyという2つの数量が、どんな関係になっているか」

です。

そして、その同じ関係を、

言葉 → 表 → 式 → グラフ

と、違う形で表していきます。

この記事では、公式だけを暗記するのではなく、

• xとyは何を表しているのか
• 比例定数aにはどんな意味があるのか
• 表から式をどう作るのか
• 式からグラフへどうつなげるのか
• 比例と反比例をどう見分けるのか
• 日常生活でどんなときに使えるのか

を、順番に確認していきます。

全部を一度に覚える必要はありません。

まず、自分が最初に止まっている場所を探してみましょう。

30秒診断｜比例・反比例のどこで止まっている？

まずは、自分に近いものを探してみてください。

• xとyが何なのかわからない
  → まず「xとは？ yとは？」から確認します。
• 表は読めるけれど、式にできない
  → 比例なら「割る」、反比例なら「掛ける」を確認します。
• 式はわかるけれど、グラフにできない
  → まず表を作り、(x,y)を点として考えます。
• 比例と反比例を見分けられない
  → 「増える・減る」だけではなく、一定になるものを探します。
• マイナスが入ると計算で止まる
  → 比例・反比例より前の「正負の数」で止まっている可能性があります。
• 文章題になると、何をx・yにすればいいかわからない
  → 数量を読み取るところで止まっている可能性があります。

全部に当てはまっても大丈夫です。

この記事では、最初から一つずつつないでいきます。

先に結論｜比例・反比例は「2つの数量の関係を見る」数学

比例・反比例では、たくさんの公式を別々に覚える必要はありません。

まず、中心になる考え方を3つだけ知っておきましょう。

比例

y=ax

表では、y÷xが一定になります。

反比例

y=a/x

表では、x×yが一定になります。

そして一番大切なこと

言葉・表・式・グラフは、別々のものではありません。

同じxとyの関係を、違う方法で表しているだけです。

この記事では、この「つながり」を中心に見ていきます。

まず知っておきたい｜比例・反比例のミニ辞書

比例・反比例では、新しい言葉がいくつか出てきます。

計算を始める前に、必要な言葉だけ確認しておきましょう。

xとは？

1つ目の数量につける名前です。

たとえば、

• 時間
• 個数
• 横の長さ

などをxとします。

一次方程式では、xを「これから求める数」として使うことが多くありました。

比例・反比例では、それだけではありません。

xは、数量につけた名前としても使います。

yとは？

xに対応して変わる、もう1つの数量につける名前です。

たとえば、

x＝時間
y＝進んだ距離

のように使います。

つまり、xやyは「難しい記号」ではありません。

何と何の関係を見ているのか、わかりやすくするための名前です。

比例とは？

xが2倍、3倍になると、yも2倍、3倍になる関係です。

基本の式は、

y=ax

です。

反比例とは？

xが2倍、3倍になると、yが1/2、1/3になる関係です。

基本の式は、

y=a/x

です。

比例定数aとは？

xとyの関係を決めている、一定の数です。

比例では、

y÷x

反比例では、

x×y

を調べると見つけられます。

座標とは？

グラフ上の点の位置を、

(x,y)

の形で表したものです。

原点とは？

(0,0)

の点です。

比例のグラフを考えるとき、とても大切になります。

グラフとは？

xとyの関係を、点や線で目に見える形にしたものです。

変域とは？

xやyがとる値の範囲です。

この記事では、まず「どこからどこまでの値を考えるか」と理解できれば十分です。

関数とは？

xの値を1つ決めると、それに対応するyの値が1つ決まる関係です。

今は、

「xとyの関係を見るもの」

くらいから始めれば大丈夫です。

一次方程式から何が変わる？｜「求める」から「関係を見る」へ

前の一次方程式では、

x+3=7

のように、

「xはいくつ？」

を考えてきました。

比例・反比例では、

y=2x

のように、

「xが変わったとき、yがどう変わる？」

を見ます。

つまり、

1つの数を求める数学

から、

2つの数量の関係を見る数学

へ進んでいきます。

xを使った計算や一次方程式そのもので止まっている場合は、比例・反比例を無理に進めるより、先にこちらへ戻る方がわかりやすいことがあります。

→ 【中学数学③】一次方程式がわからない人へ｜等式の性質・移項・解き方の順番

比例｜健太の自転車で考えてみよう

まずは、比例から見ていきます。

健太が、自転車で一定の速さで走っているとします。

1分間に200m進むことにしましょう。

時間をx分、進んだ距離をy mとします。

時間 x（分）	0	1	2	3	4
距離 y（m）	0	200	400	600	800

健太：「時間が2倍になったら、進む距離も2倍になってる！」

もこあい先生：「そうだね。3倍なら距離も3倍。この関係が比例だよ。」

比例では、なぜ「y÷x」を見るの？

先ほどの表で、y÷xを計算してみます。

200÷1=200

400÷2=200

600÷3=200

800÷4=200

どこを見ても200です。

この200は、何を意味しているのでしょうか。

今回なら、

「1分あたり200m進む」

という意味です。

だから、比例ではy÷xを見ると、「xが1あたりのとき、yがどれくらいか」がわかります。

比例定数aは、ただの謎の数字ではない

比例の式は、

y=ax

です。

今回なら、

a=200

なので、

y=200x

となります。

健太：「aって、急に出てきた謎の数字じゃないんだ。」

もこあい先生：「そう。今回の200には『1分あたり200m』という意味があるんだよ。」

比例定数は、ただ公式に入れる数ではありません。

xとyを結びつけている一定の関係として見ると、意味がわかりやすくなります。

表から比例の式を作る｜「割る→a→式」の順番

次の表を見てみましょう。

x	1	2	4	5
y	3	6	12	15

比例かどうか確かめるために、y÷xを見ます。

3÷1=3

6÷2=3

12÷4=3

15÷5=3

すべて3です。

だから、

a=3

となり、式は、

y=3x

です。

比例はこの順番

1. 表を見る
2. y÷xを調べる
3. 同じ数になるか確認する
4. 比例定数aを見つける
5. y=axに入れる

最初から式を思いつこうとしなくても大丈夫です。

まず「割って同じになる？」から始めましょう。

式から表を作る｜xに数字を入れてみよう

今度は逆です。

y=4x

という式から、表を作ってみます。

x＝0なら、

y=4×0=0

x＝1なら、

y=4×1=4

x＝2なら、

y=4×2=8

x	0	1	2	3
y	0	4	8	12

式から表にしたいときは、

xに数字を入れる → yを計算する

と考えれば大丈夫です。

比例のグラフ｜いきなり線を描かなくていい

グラフが苦手な人は、いきなり完成した線を描こうとしなくて大丈夫です。

まず、表に戻ります。

たとえば、

y=2x

なら、

x	0	1	2	3
y	0	2	4	6

です。

これを座標にすると、

• (0,0)
• (1,2)
• (2,4)
• (3,6)

となります。

この点をグラフに打っていくと、一直線に並びます。

比例y=axのグラフは、原点を通る直線になります。

グラフがわからなければ、表まで戻る

グラフの形だけを覚えようとすると、わからなくなったときに戻る場所がありません。

そんなときは、

式 → 表 → 座標 → グラフ

と、一つずつ進めましょう。

ここが核心｜言葉・表・式・グラフは全部同じ関係

健太の自転車を、最初から最後までつなげてみましょう。

① 言葉

健太は、1分間に200mの一定の速さで進む。

↓

② 表

x（分）	0	1	2	3
y（m）	0	200	400	600

↓

③ 式

y=200x

↓

④ グラフ

(0,0)、(1,200)、(2,400)……を通る直線になります。

ここで大切なのは、

4つの別々の問題を勉強しているわけではない

ということです。

全部、

「健太が1分間に200m進む」

という同じ関係です。

それを、言葉・表・式・グラフという4種類の方法で見ています。

表の問題、式の問題、グラフの問題を別々に暗記しない。
同じ関係を「言い換えている」と考えてみましょう。

反比例｜恵子の長方形で考えてみよう

次は反比例です。

恵子が、面積24cm²の長方形を作っているとします。

横の長さをx cm、縦の長さをy cmとします。

面積は、

横×縦

なので、

x×y=24

です。

横 x（cm）	1	2	3	4	6
縦 y（cm）	24	12	8	6	4

健太：「横が長くなるほど、縦が短くなってる。反比例だ！」

恵子：「たしかにそう見えるけど、それだけで決めていいのかな？」

ここが、反比例でとても大切なところです。

反比例では、なぜ「x×y」を見るの？

表のxとyを掛けてみます。

1×24=24

2×12=24

3×8=24

4×6=24

6×4=24

全部24です。

つまり、

x×yがずっと一定

になっています。

反比例は「減る関係」ではなく「一定のものを保つ関係」と見る

今回、変わらないのは長方形の面積です。

面積24cm²を保ったまま、横と縦の長さを変えています。

たとえば、横を2倍にすると、縦は半分にしないと面積24cm²を保てません。

だから、

x×y=24

という関係になります。

反比例を、

「xが増えたらyが減る」

だけで覚えるのではなく、

「xとyを掛けたものが一定になる」

と見ることが大切です。

反比例の式にしてみよう

x×y=24

なので、yについて表すと、

y=24/x

です。

反比例の基本の式は、

y=a/x

なので、今回の比例定数は、

a=24

です。

表から反比例の式を作る｜「掛ける→a→式」の順番

次の表を見てみましょう。

x	1	2	3	6
y	12	6	4	2

x×yを調べます。

1×12=12

2×6=12

3×4=12

6×2=12

すべて12です。

だから、

a=12

となります。

式は、

y=12/x

です。

反比例はこの順番

1. 表を見る
2. x×yを調べる
3. 同じ数になるか確認する
4. 比例定数aを見つける
5. y=a/xに入れる

比例は割る。反比例は掛ける。

ここまで戻れるようにしておくと、見分けやすくなります。

悪もこあい先生のワナ①｜「増えて減るなら全部反比例」でいい？

悪もこあい先生：「xが増えて、yが減っているわ。はい、反比例。」

本当にそうでしょうか。

x	1	2	3	4
y	10	9	8	7

確かに、xは増えてyは減っています。

でも、掛けてみると、

1×10=10

2×9=18

3×8=24

4×7=28

となります。

一定ではありません。

したがって、この関係は反比例ではありません。

恵子：「増える・減るだけじゃなくて、掛けた結果が同じになるか確かめるんだね。」

その通りです。

見た目だけで判断せず、数字で確かめる。

これも数学では大切です。

反比例のグラフ｜表から点を作ってみよう

たとえば、

y=6/x

を考えます。

xに値を入れると、

x	1	2	3	6
y	6	3	2	1

座標は、

• (1,6)
• (2,3)
• (3,2)
• (6,1)

となります。

点を増やしていくと、比例のような直線ではなく、なめらかな曲線になります。

悪もこあい先生のワナ②｜真ん中を線でつないじゃえばいい？

悪もこあい先生：「反比例のグラフ、真ん中が空いているわね。線でつないじゃえば？」

つないではいけません。

たとえば、

y=6/x

でx＝0を入れようとすると、

y=6÷0

になります。

しかし、0で割ることはできません。

つまり、x＝0に対応する点はありません。

さらに、a≠0の反比例y=a/xでは、y＝0にもなりません。

そのため、反比例のグラフは、x軸にもy軸にも交わりません。

ここでも、

式の意味がグラフの形に表れている

ことがわかります。

マイナスまで広げるとどうなる？｜形だけ確認しよう

比例・反比例では、xやyが負の数になる場合もあります。

たとえば、

y=2x

なら、

x	-2	-1	0	1	2
y	-4	-2	0	2	4

となります。

一方、

y=6/x

なら、xが負の数のとき、yも負の数になります。

この記事では、負の値を使ったグラフを細かく深掘りしません。

もし、

• マイナスどうしの計算で止まる
• 正負の数の大小がわからない
• 符号をよく間違える

という場合は、比例・反比例より前へ戻って確認してみてください。

→ 正負の数でつまずく中学生へ｜マイナス・数直線・符号ミスの直し方

実は使ってる！健太と恵子の「比例・反比例あるある」

ここまで勉強して、

「でも、比例とか反比例って普段使うの？」

と思った人もいるかもしれません。

実は、比例・反比例という言葉を意識していなくても、似た考え方を日常で使っていることがあります。

あるある①｜健太「3本買ったらいくら？」

1本120円の飲み物を買うとします。

健太：「3本なら360円だな。」

恵子：「計算早いね。」

健太：「1本120円だから、3倍しただけ。」

実は、この「3倍しただけ」が比例です。

本数 x	1	2	3	4
代金 y（円）	120	240	360	480

式にすると、

y=120x

です。

この関係がわかれば、まだ買っていない5本、10本の代金も予想できます。

健太：「あぁ、これは普段からやってる。」

あるある②｜恵子「人数が増えたら、1人分が減った」

12個のお菓子を、同じ数ずつ分けるとします。

3人なら1人4個。

6人なら1人2個です。

健太：「人数が倍になったら、1人分は半分になった。」

恵子：「でも、お菓子は全部で12個のままだよ。」

3×4=12

6×2=12

つまり、

人数×1人分＝12

が一定です。

これは反比例の関係です。

あるある③｜「何時間くらいかかる？」にも数学がある

同じ120kmを、途中で止まらず一定の速さで進むと仮定します。

• 時速30km → 4時間
• 時速40km → 3時間
• 時速60km → 2時間

確かめると、

30×4=120

40×3=120

60×2=120

です。

速さ×時間＝120km

が一定なので、一定の距離について考える場合、速さと時間は反比例の関係になります。

ただし、実際の移動では、

• 信号
• 休憩
• 渋滞
• 速度の変化

などがあります。

そのため、これは「一定の速さで進むと仮定した場合」の関係です。

比例・反比例は「この先どうなる？」を予想する道具

もこあい先生：「比例・反比例は、学校の中だけで使う公式ではないんだよ。」

たとえば、

• 個数が増えたら代金はいくらになる？
• 人数が増えたら1人分はいくつになる？
• このペースなら、このあとどれくらいになる？

というように、

「これが変わったら、もう一方はどうなる？」

を考えるときに使えます。

健太：「数学を使おうと思ってなくても、似たことは普通にやってるんだな。」

恵子：「名前を知らなかっただけで、考え方は身近にあったんだね。」

ただし、日常の関係がいつでも完全な比例・反比例になるとは限りません。

たとえば「3個買うと割引」なら、個数と代金は単純な比例ではなくなることがあります。

どんな条件のもとで比例・反比例になるのかも一緒に見ることが大切です。

比例と反比例を比べてみよう

見るところ	比例	反比例
基本の式	y=ax	y=a/x
表で確認	y÷xが一定	x×yが一定
xが2倍	yも2倍	yは1/2
xが3倍	yも3倍	yは1/3
グラフ	原点を通る直線	なめらかな曲線
まず見るもの	1あたりの量	積が一定か

迷ったら、

比例 → 割る

反比例 → 掛ける

まで戻ってみましょう。

表・式・グラフは「行き来」できる

比例・反比例では、表・式・グラフを別々に暗記する必要はありません。

表 → 式

比例なら、

y÷x

反比例なら、

x×y

を調べてaを見つけます。

式 → 表

xに数字を入れて、yを計算します。

表 → グラフ

表のxとyを、

(x,y)

という座標として点を打ちます。

グラフで止まったら

一つ前の表へ戻ります。

「どこからでも全部できなければいけない」ではありません。

わからなくなったところから、一つ前へ戻れば大丈夫です。

まずこれだけやってみよう｜比例・反比例の最小実行

ここまで読んで、

「結局、問題を見たら最初に何をすればいいの？」

と思った人もいるでしょう。

そんなときは、全部やろうとせず、最小の一手だけやってみましょう。

比例の最小実行

x	1	2	3
y	4	8	12

STEP1｜まず割る

4÷1=4

STEP2｜もう1か所確かめる

8÷2=4

STEP3｜同じならaを見つける

a=4

だから、

y=4x

です。

まず「割って同じか」を確認できればOK。

反比例の最小実行

x	1	2	4
y	12	6	3

STEP1｜まず掛ける

1×12=12

STEP2｜もう1か所確かめる

2×6=12

STEP3｜同じならaを見つける

a=12

だから、

y=12/x

です。

まず「掛けて同じか」を確認できればOK。

グラフの最小実行

たとえば、

y=2x

のグラフがわからなかったら、完成させようとしなくて大丈夫です。

まず、

x＝0 → y＝0

x＝1 → y＝2

として、

(0,0)

(1,2)

の2点だけ作ってみましょう。

反比例でも同じです。

y=6/x

なら、

x＝1 → y＝6

x＝2 → y＝3

として、

(1,6)

(2,3)

を作ります。

「グラフを完成させる」ではなく、「まず1点、もう1点」です。

何もわからないときの最小実行

文章や問題を見て、何を始めればいいのかわからなかったら、まず次の2つだけ確認します。

x＝何の量？

y＝何の量？

式まで作れなくても、ここまでできれば最初の一歩です。

文章題で止まったら｜ここでは深追いせず「何と何？」だけ見る

比例・反比例そのものはわかっていても、文章題になると止まることがあります。

その場合、この記事ではまず、

xは何の量？

yは何の量？

だけ確認します。

たとえば健太の自転車なら、

x＝時間
y＝距離

でした。

ただし、

• 何を求める問題かわからない
• どの数字を使うかわからない
• 数字どうしの関係を読み取れない

という場合は、比例・反比例ではなく文章題の読み取りで止まっている可能性があります。

その部分はこの記事で重ねて説明せず、こちらで詳しく確認できます。

→ 中学生の数学文章題が苦手な人へ｜式を作る前に見る「問い・数字・関係・式」の順番

中1の文章題から具体的に練習したい場合はこちらです。

→ 中1の文章題で式が作れない人へ｜問い・数字・関係を見る順番

変域は「どこまで考えるか」だけ押さえよう

たとえば、

「xは1以上5以下」

と決まっていたら、xについて考える範囲は1から5までです。

このような、

xやyがとる値の範囲

を変域といいます。

この記事では、

「どこからどこまでの値を考えるのか」

がわかれば十分です。

複雑な変域の問題や、一次関数での詳しい扱いまではここでは深追いしません。

わからなくなったら、最初に止まった場所へ戻ろう

「比例・反比例が苦手」と感じていても、実際には別の場所で止まっていることがあります。

こんなとき	戻る場所
中学数学全体で、どこから復習すればよいかわからない	中学数学の入口記事へ
マイナスや符号の計算で止まる	正負の数へ
xを使った計算や方程式で止まる	一次方程式へ
文章から数量を読み取れない	文章題の共通記事へ
比例・反比例の表・式・グラフがつながらない	この記事の「表・式・グラフは行き来できる」へ戻る

大切なのは、

「比例・反比例が全部わからない」

とまとめてしまわないことです。

最初に止まった場所を見つけて、そこまで戻りましょう。

次につながる数学｜⑤連立方程式・⑥一次関数へ

比例・反比例では、

xとyという2つの数量の関係を見る

ことを学びました。

この先では、この考え方がさらに広がります。

⑤連立方程式では

2つの未知数を、2つの条件から求める

ことを学びます。

今回の比例・反比例では「xとyの関係を見る」ことが中心でした。

次は、xとyについて条件が2つあったらどうするのかを考えていきます。

⑥一次関数では

xとyの関係を、式・表・グラフでもっと詳しく見る

ようになります。

比例で出てきた、

y=ax

という式も、一次関数につながっていきます。

「原点を通らない直線はどうなるの？」

「aには、グラフの中でどんな意味があるの？」

といった疑問は、一次関数でさらに詳しく見ていきます。

今は先の内容まで覚えなくて大丈夫です。

まずは、

「2つの数量の関係を見る」

という感覚を身につけておきましょう。

保存用｜比例・反比例を見る7項目チェック

問題で迷ったら、次の順番で確認してみましょう。

1. xとyは何の量か言える？
2. 表を作れる？
3. 比例ならy÷xを確認した？
4. 反比例ならx×yを確認した？
5. 比例定数aを見つけられた？
6. 式から(x,y)の点を作れる？
7. グラフで迷ったら表まで戻った？

7つ全部を一度にできる必要はありません。

チェックが止まったところが、今戻る場所です。

まとめ｜比例・反比例は「関係を見る・つなげる・予想する」数学

比例・反比例で大切なのは、公式をたくさん暗記することではありません。

比例では、

y=ax

そして、

y÷xが一定

です。

反比例では、

y=a/x

そして、

x×yが一定

です。

でも、この記事で一番覚えてほしいのは、

言葉・表・式・グラフは、同じ関係を違う形で表している

ということです。

グラフがわからなければ、表へ戻る。

式がわからなければ、表を確かめる。

比例か反比例かわからなければ、割る・掛けるで一定になるものを探す。

そして、比例・反比例の考え方は、買い物や分け方のような身近な場面にもあります。

比例・反比例がわかると、

「これが変わったら、もう一方はどうなる？」

と、この先を予想することもできます。

最初から全部できなくても大丈夫です。

表 → 式 → グラフと、一つずつ橋をかける。

わからなくなったら、最初に止まった場所へ戻りながら進んでいきましょう。

参考文献・参考資料

この記事では、中学校数学における比例・反比例、関数、座標、グラフなどの基本的な内容について、
以下の資料を参考にしながら、中学生がつまずきやすいポイントを中心に整理しています。

• 文部科学省
  『中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編』
• 文部科学省
  『中学校学習指導要領（平成29年告示）』
• 文部科学省の検定を経た中学校数学科用教科書の
  「比例と反比例」「関数」「座標・グラフ」に関する学習内容

※この記事は、教科書や学習指導要領の内容をそのまま転載するものではありません。
学習内容をもとに、比例・反比例でつまずいている中学生が
「式・表・グラフのつながり」を理解しやすいよう、独自に構成・解説しています。

※学校・教科書によって、説明の順番や用語の扱いが一部異なる場合があります。
授業や定期テストでは、使用している教科書や学校の指示もあわせて確認してください。